Курсовая работа

"Представления конечных групп"

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

1.3 Лемма Шура

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

1.5 Индуцированные представления

1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

Основные обозначения

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в – порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .

Централизатор. Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .

Лемма

1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и – подмножество группы и , то

3. Если – подмножество группы и , то

Центр группы. Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.

Нормализатор. Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если – подгруппа группы , то

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема. Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:

1) – нормальная подгруппа;

2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;

3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .

Лемма. Пусть – подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если и , то ;

3) – наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5) для любого непустого подмножества группы .

Простая группа. В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.

Представления конечных групп

1.1 Представления групп

Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в

G ,

такой, что

,

(единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через .

Пример 1.2 Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.

Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

,

то представления и называются эквивалентными. Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение определяет классы эквивалентных представлений группы .

Пример 1.3. Пусть – симметрическая группа степени . Для элемента

через обозначим матрицу, строка которой имеет вид , где 1 стоит на месте. Другими словами,

где

Такое отображение является точным представлением группы .

1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу подстановку

является инъективным гомоморфизмом группы в . С такой подстановкой мы свяжем матрицу

где, как и в примере ,

Тогда отображение является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим следующим образом:

Тогда

и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.

регулярное представление группы определяется аналогично с использованием гомоморфизма

Другими словами,

Пусть – некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть – представление степени . Говорят, что приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что

где и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления

эквивалентны, поскольку для матрицы

Скажем, что представление неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.

Для заданных представлений и группы степеней и соответственно отображение