Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в в качестве компоненты, и поэтому имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.

Теорема 4.8. Пусть – полный набор различных неприводимых характеров группы . Пусть – степень , а – порядок группы . Тогда

и

для .

Для доказательства достаточно вычислить на элементе , используя (4.8).

Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть – группа, а – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса :

Определим произведение и по правилу

где , а суммирование ведется по . Для элемента обозначим через число пар , таких, что . Тогда для имеется в точности пар , таких, что , поскольку тогда и только тогда, когда для . Поэтому каждый элемент из появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.

Совокупность всех элементов для также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через .

Тогда

Пусть – неприводимое представление группы и – степень . Определим по правилу

Тогда

поскольку пробегает , как и . Значит, коммутируют с и в силу теоремы 3.2

Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим

где – характер представления и . В силу (4.10)

Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству

или

Пусть – все различные неприводимые характеры группы и – степень . Равенство (4.14) имеет место для каждого . Просуммировав (4.14) по , получим

Отсюда

Величина равна порядку централизатора элемента в группе . Поскольку в силу (4.5) , мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть – множество всех различных неприводимых характеров группы , и пусть – полный набор представителей классов сопряженных элементов группы . Тогда

где – порядок и суммирование ведется по всем неприводимым характерам группы .

Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы равно числу ее классов сопряженных элементов.

Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть есть – матрица, а есть – матрица. Если определитель квадратной матрицы , имеющий порядок , отличен от нуля, то .

Пусть – все различные неприводимые характеры группы , а – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме

Поэтому . В силу теоремы 4.9

Отсюда следует, что и потому .

1.5 Индуцированные представления

Пусть – группа и – ее подгруппа. Обозначим через и порядки групп и соответственно. Если – некоторая функция на , то через обозначим ее ограничение на . В случае когда – функция классов на , также является функцией классов на . Если – характер некоторого представления группы , то представляет собой характер ограничения представления на .

По функции , заданной на , определим функцию на правилом

полагая для , не принадлежащих . Отметим, что является функцией классов на , даже еслм не является функцией классов на . Если не сопряжен ни с каким элементом из , то .

Лемма 5.1. Пусть – функция классов на группе , а – функция классов на подгруппе группы . Тогда

Доказательство. Имеем

Вклад в сумму дают лишь такие пары , что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых при некотором , получаем

Если – характер некоторого представления группы , то назовем индуцированным характером группы и скажем, что индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .

Пусть – множество представителей левых смежных классов группы по :

Для представления подгруппы определим матрицу так:

где для , не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что

– представление группы степени , где , а – степень . При фиксированных и множество содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы через . Тогда

Покажем, что . Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то и , поскольку . В любом случае и следовательно, . Поскольку , матрица невырожденна. Таким образом является представлением группы .

Пусть – характер , а – характер . Тогда

Тем самым мы получим . Назовем индуцированным представлением группы и будем говорить, что индуцировано с . Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер

Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть – подгруппа в . Пусть – полный набор неприводимых характеров группы , а – полный набор неприводимых характеров группы . Тогда

в том и только том случае, когда

Другими словами, если – неприводимое представление группы , а – неприводимое представление , то является неприводимой компонентой в кратности тогда и только тогда, когда является неприводимой компонентой в кратности .

Доказательство. Пусть и . В силу леммы 5.1

1.6 Произведение представлений

Пусть – квадратные матрицы порядков и соответственно, и пусть . Определим кронекерово, или тензорное, произведение матриц и следующим образом:

Значит, представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая

Лемма 6.1.

(1) ,

(2) если имеют степень , a – степень , то

Пусть и – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение

также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений и обозначают через . Пусть – характеры представлений соответственно. По лемме 6.1 (1)

Пусть – полный набор неприводимых представлений группы , а – характер . Отображение также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .

Теорема 6.2. Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Таким образом, кратность вхождения в равна кратности вхождения в

Теорема 6.3. Пусть – точное представление группы и – его характер. Пусть – число различных значений, которые принимает на . Тогда каждое неприводимое представление группы входит в

для некоторого , где .

Доказательство. Предположим, что неприводимое представление не входит в . Пусть – характеры и соответственно. Тогда

для . Пусть принимает на значение . Положим и . В силу (6.1)

для Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .

Пусть – степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3 эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

Пусть – порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку точно, . Поэтому и . Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть – группа и – классы сопряженных элементов в . Пусть – нерпиводимые характеры группы , а – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

для произвольной квадратной матрицы и теорему: Пусть – группа и – ее подгруппа. Пусть – представление степени , а – его характер. Тогда индуцированное представление имеет степень , где , и характер

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: ,

(2) если имеют степень , a – степень , то

Список использованных источников

11[] Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

22[] Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

33[] Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

44[] Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24