Содержание

Введение 2

1. Характеры 3

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6

1.3 Характеры Дирихле 8

2. L-функция Дирихле 13

3. Доказательство теоремы Дирихле 29

Введение

Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l, n=1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

1. Характеры

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров

Х арактером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АG и BG

χ (АВ)= χ (А) χ(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А^-1 обратный элемент для АG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ

χ (Е)=1 (1.1)

Доказательство. Пусть для каждого элемента АG справедливо неравенство

₁(А)=(АЕ)= (А) χ (Е)

Из этого равенства получим, что (Е)0. Теперь из равенства

(Е)= (ЕЕ)= (Е) (Е)=1

следует равенство (1.1)

2. (А) 0 для каждого АG

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АG, то

(А) χ (А^-1)= (АА^-1)= χ (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то А^h=Е для каждого элемента АG Следовательно,

1= χ (Е)= χ (А^h)= χ (А)^h,

то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ_1, обладающий свойством χ₁(А)=1 для каждого элемента АG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H – циклическая порядка n, тогда для каждого характера χ_H – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G= g^kH, причем gⁿH=H, gⁿH и gⁿ=h₁=1.

Для каждого элемента XG существует и притом единственное к=к_х и h_х=h такое, что если 0 к_х k^х h_х=g^kh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= g^m h_y, где 0 m

ХY= g^к+m hh_y.

Определим характер χ (X).

χ (X)= χ (g^к h)= χ (g^к) χ (n)= χ ^к (g) χ _H (h).

В данном выражении неизвестным является χ (g).

χ ⁿ (g)= χ (gⁿ)= χ (h₁)= χ _H(h₁) – данное число.

χ (g)= – n корней из 1,

то есть ξ_јⁿ=χⁿ(g)= χ _H(h₁), получаем x^k (g)= ξ_јⁿ. Следовательно, x(g)= ξ₁, …, ξ_n

Из полученных равенств получаем:

χ (X)= χ ^k (g) χ _H(h_x)= ξ_j^kx χ _H (h_x)

χ (Y)= χ ^m (g) χ _H(h_y)= ξ_j^ky χ _H (h_y)

Определим умножение характеров

χ (X) χ (Y)= ξ_j^ky χ _H (h_y) ξ_j^k-x χ _H (h_x)= ξ_j^kx+ky χ _H (h_x) χ _H (h_y)= _j^k+m χ _H (hh_y)

Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень g^kx+kx. Возможны два случая:

1) Если 0 к_х + k_y

к_х + k_y= k_xy,; h_xh_y = h_xy.

В этом случае определение выполняется.

2) Если n к_х + k_y<2n-1, то получим

к_х + k_y = n + k_xy..

Тогда

XY= g ^kx+ky h_xh_y=g^hg^kx+ky-n h_x h_y=g^kx+ky-n h₁h_xh_y

В свою очередь 0 к_х + k_y – nn-1 k_x+k_y – n=k_xy, h₁h_xh_y = h_xy.

χ (XY) = ξ_j ^kх+kу χ_н (h_xу) = ξ_j ^{kх + kу – n} χ_н (h₁) χ_н(h_x) χ_н (h_y) = ξ_j^кх ξ_j ^ку ξ_j^{– n} χ_н (h₁) χ_н(h_x) χ_н (h_y) = ξ_j ^кх χ_н (h_1х) · ξ_j ^ку χ_н(h_y) = χ (X) χ(Y).

Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:

χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)

Для любого элемента АG, имеем:

χ (АВ) = χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ'' (В) = χ(А) χ(В)

Таким образом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ₁

Обратным элементом G является:

χ ₂ (g₁ g₂) = = = = χ₂(g₁) χ₂(g₁)

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S· (В) = (В) = = = S.

Получили S (В) = S, откуда следует, что ( (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то (В) – негативный характер

2) S≠0, то (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае (В)= ₁(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

S = = (1.2)

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер ’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим

’ (А) Т = ’ (А) = = Т,

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то ’ (А) = 1 для каждого характера ’€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = =

1.3 Характеры Дирихле

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что (m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

(а)= (А), если аА,

где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, (а)= (b) (mod m), и (ab)= (а) (b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку (А)0 для каждого приведенного класса вычетов А, то (а)0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция , обладающая следующими свойствами:

(а)= (b), если с=b (mod m)

(ab)= (a) (b) для всех целых a и b

(а)=0, если (a, m)>1

(а)0, если (a, m)=1

Имеется точно (m) – количество характеров по модулю m, где (m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер _1, то есть такой характер, что ₁(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

=

=

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б) (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

(аb) = (а) (b)

Функция

₁(n) =

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если = (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство / (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство

4) Для каждого целого числа n

=

Доказательство. Пусть (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что (n) задает некоторую функцию ’( ) = (n) на мультипликативной группе

классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

’( ) = (n)

Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как (1) ≠ 0, то ’( ) не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что ’( ) = ’( ) = ’ (ab) = (a) (b) = ’( )’( ).

Таким образом, ’( ) есть характер модультипликативной группы G_m.

Обратно, по каждому характеру ’( ) группы G_m можно построить числовой характер (n) по модулю m, положив

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе G_m, если учесть, что порядок группы G_m равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого , ≥ 1

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим .

Лемма 2. Пусть (n) – неглавный характер. Тогда для каждого , ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/

Доказательство. Функция (n) периодична с периодом m и по теореме з

0, так как ≠ ₁

Поэтому, представив [] – целую часть числа – в виде []=m1+z, 0zm, будет иметь

S() =S([])=q

В виду равенства /(n)/1 отсюда получили S()zm

2. L-функция Дирихле

Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

, (2.1)

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру (n), и обозначается L (s, ).

Лемма 3

1. Если ₁, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, ) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, ₁), сходится в области ReS >1. Функция L (S, ₁) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть (n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /(n)/ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, ) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров (n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть a_n, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, >1,

А()=

а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1t

Тогда

(2.2)

Если же

то

(2.3)

при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N

так как А(0)=0. Далее

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале nt

пусть х1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, NxN+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а

Следовательно,

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство

(2.4)

где

функция, введенная Лемме 4.

Для s = +it из области ReS = , где – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

Поэтому интеграл

сходится в области ReS > . Поскольку в этой области выполняется неравенство

то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > . Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа . Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру (n), справедливо представление

(2.5)

так как

Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

(2.6)

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >, что следует из равенств

При этом использовано, что на полуинтервале nх< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.