86106 (Числа "е" та "пі"), страница 4

тобто точність отриманої відповіді перевищує . Обертаючи дріб у десятковий, одержуємо:

РОЗДІЛ ІІІ

НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”

3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів

Обчислимо число з точністю до з використанням ряду [20]. Запишемо ряд для :

(3.1.1)

Ця рівність має місце для кожного . При

(3.1.2)

Насамперед установимо, яким треба взяти число для здійснення необхідної точності. Якщо покласти наближене , то помилка буде

тому що є прогресія, знаменник якої дорівнює (сума прогресси дорівнює , де її перший член, а знаменник).

Для здійснення необхідної точності треба, щоб , тобто . Уже при дана нерівність задовольняється , тому що . Але тому що обіг членів розкладання для в десятковий дріб і при цьому їхнє округлення послужить джерелом нової погрішності, то в запас точності візьмемо .

Оборотні члени розкладання в десятковий дріб використовуємо, округляючи їх за правилом доповнення на сьомому знаку. Тоді похибка кожного члена по абсолютній величині не більше , а вся похибка – не більше , тому що перші три члени розкладання обчислюються точно , і будемо мати:

таким чином, похибка на відкидання всіх членів розкладання, починаючи з (дванадцятий член розкладання), не перевершує , а похибка на округлення не більше . Звідси виходить, що загальна погрішність за абсолютним значенням дорівнює сумі

Але тоді число знаходиться між числами й , тобто . Отже, можна покласти . Значення з 19 знаками після коми є [22]:

3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

Згідно [9] для наближеного розрахунку числа побудований наступний ланцюговий дріб.

Теорема 3.2.1

(3.2.1)

Доведення . Визначимо як суму ряду:

.

Цей ряд сходиться при будьяких значеннях ; однак ми будемо розглядати тільки значення , що лежать в інтервалі .

Легко перевірити , що має місце тотожність

(3.2.2)

Дійсно, коефіцієнт при в лівій частині рівності (3.2.2) дорівнює

а в правій частині рівності (3.2.2) він дорівнює

,

так що (3.2.2) вірне.

Позначимо через . Зокрема, оскільки

То

З тотожності рівності (3.2.1) при одержуємо:

(3.2.3)

Оскільки позитивно, рівність (3.2.3) показує , що при всіх

, , тобто й послідовність співвідношень (3.2.2) при

дає розкладання в ланцюговий дріб:

(3.2.4)

Теорема доведена.

Тепер розкладемо в ланцюговий дріб число [2].

Теорема.3.2.2

(3.2.5)

(послідовність неповних часток така: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...) , тобто елементи розкладання в ланцюговий дріб мають вигляд:

Доведення. Позначимо підходящі дроби до правої частини (3.2.4) через , а підходящі дроби до (3.2.3) через . Доведемо , що

Беручи до уваги значення елементів ланцюгового дробу (3.2.4) , маємо:

Звідки знаходимо:

Аналогічне співвідношення маємо й для , так що

(3.2.6)

Доведемо індукцією по , що

(3.2.7)

З (3.2.3) і ( 3.2.4) безпосередньо обчислюємо , так що співвідношення (3.2.7) вірно для всіх з номерами, меншими ніж , де , тобто зокрема

тоді , використовуючи рівності (3.2.6) , одержуємо:

Згідно за принципом повної математичної індукції равенство (3.2.6) вірно для всіх .

Зовсім аналогічно доводиться, що

Розглядаючи тепер межу відносини величин і , знаходимо:

тобто

Оскільки ланцюговий дріб у правій частині (3.2.5) сходиться, ми будемо мати також, що взагалі , а це доводить теорему.

Теорема доведена.

ВИСНОВКИ

У даній роботі було викладено суть і історичне поява чисел і .Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел.

Число – відношення довжини окружності до її діаметра, – величина постійна й не залежить від розмірів окружності. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою буквою (від «perijereia» – окружність, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ойлера, що ставиться до 1736, однак уперше воно було вжито Вільямом Джонсом (16751749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: = 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для наближень за допомогою раціональних чисел.

У даній роботі ми довели ірраціональність і трансцендентність чисел і . Так само ми показали як можна розкласти числа й за допомогою ряду й за допомогою ланцюгового дробу.

Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, для швидкого обчислення значень окремих функцій.

Математиками виведена формула, яка пов’язує числа е и π, т. н. «інтеграл Пуассона» або «інтеграл Гаусса»

доводячи світове значення чисел е и π, на основі яких описуються процеси у багатьох науках та природних явищах.

У сучасності ланцюгові дроби знаходять все більше застосування в обчислювальній техніці, тому що дозволяють будувати ефективні алгоритми для рішення ряду задач на ЕОМ.

Так, дуже швидко працюють обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана

і братів Чудновських

В 1997 році Дейвід Х. Бейлі, Пітер Боруейн і Саймон Плуфф відкрили спосіб швидкого обчислення довільної двійкової цифри числа π без обчислення попередніх цифр, заснований на формулі

Невирішені проблеми сучасної математики у розділі теорії чисел:

Невідомо, чи є числа π і e алгебраїчно незалежними;

Невідомо, чи є суми та комбінації чисел: π + e, π − e, πe, π / e, π^e, π^π трансцендентними;

Дотепер нічого не відомо про нормальність числа ; невідомо навіть, які із цифр 09 зустрічаються в десятковому поданні числа нескінченну кількість разів.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Арнольд И.В. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1939. 287 с.

2. Арнольд В.И. Цепные дроби. М.: МЦМНО, 2000. 40 с.

3. Ангилейко И.М. Бесконечные ряды. – Минск: Издво „Высшая школа”, 1964 – 143 с.

4. Бескид Н.М. Цепные дроби // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 1, 1970

5. Беркович Е. Мировые константы π и e в природе // Журнал «7 искусств», № 1, декабрь 2009 – http://7iskusstv.com, 2010

6. Болтянский В. Экспонента // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 3, 1984

7. Бородін О.І. Теорія чисел.К.: Радянська школа, 1965. 262 с.

8. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т.II. М.: Просвещение 1972.

9. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Издво „Наука” – „Физматлит”, 1979. – 664 с.

11. Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел и e Харьков, Издательство Харьковского госуниверситета, 1952. – 79 с.

12. Звонкин А. Что такое // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 11, 1978

13. Канторович А.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Изд. Физикоматематической литературы, 1962. 708 с.

14. Крылов В.И. Вычислительные методы : учебное пособие / В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. – М.: „Наука”, 1976. Т.1. – 304 с.

15. Крылов В.И. Вычислительные методы : учебное пособие / В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. – М.: „Наука”, 1977. Т.2. – 399 с.

16. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 8, 1979

17. Кымпан Ф. История числа . М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит.,1987. – 239 с.

18. Марков А. Доказательство трансцендентности числа (невозможность квадратуры круга) Санкт Петербург, Типография Императорской академии наук, 1883. – 74 с.

19. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Схемы, таблицы. – М.: « Наука», 1977. 456 с.

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: „Наука”, 1970. – Т.2. – 800 с.

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Пи _Число математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра, 2010

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/e_Число математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. 2010

4. http://www.new_numerolog.ru Трансцендентные числа е и пи,2010

5. http://ru.wikipedia.org/wiki Ленард Эйлер, математик, 2010

6. http://ru.wikipedia.org/wiki Джон Валлис, математик, 2010

7. http://ru.wikipedia.org/wiki Лейбниц та ряди, математик, 2010

8. http://formula.co.ua/blog/about Число пі, 2010