86106 (Числа "е" та "пі")

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни

„Вища математика”

за темою

Числа «е» та «пі»

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І ОСОБЛИВІ ЧИСЛА МАТЕМАТИКИ „π.” ТА „е”

1.1 Сутність та історична поява чисел „π.” та „е”

1.2 Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел

1.3 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „π”

1.4 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”

РОЗДІЛ ІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „π”

2.1 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів

2.2 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

РОЗДІЛ ІІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”

3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів

3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИСКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Сучасна математика в багатьох задачах оперує підмножиною дійсних чисел, що складається з підмножин раціональних і ірраціональних чисел, тобто з чисел які можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу й чисел, та які не можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу. Особливою підмножиною ірраціональних чисел є трансцендентні числа такі числа, які не є коренем ніякого багаточлена із цілими коефіцієнтами.

Існування і явні побудови дійсних трансцендентних чисел обґрунтував французький учений Ж.Ліувілль на основі заміченого їм факту: ірраціональні алгебраїчні числа не допускають «дуже сильних» наближень раціональними числами. Французький учений Е.Борель встановив, що «майже всі» ірраціональні числа трансцендентні.

Усім, хто вперше стикнувся з математикою в школі, відомо про 2 особливих числа:

π – число, рівне відношенню довжини окружності до її діаметра;

та е – основу натуральних логарифмів.

Зазначені числа входять у множину формул математики, фізики, хімії, біології, а також економіки. Це свідчить про те, що вони відбивають деякі самі загальні закони природи.

Хоча ще з кінця 16 в., тобто з тих пор, як сформувалися самі поняття раціональних і ірраціональних чисел, багато вчених були переконані в тім, що число ірраціональне, але тільки в 1766 німецький математик Іоганн Генріх Ламберт (17281777), ґрунтуючись на відкритій Ойлером залежності між експонентною й тригонометричною функціями, строго довів це – „Число не може бути представлене у вигляді простого дробу, як не були б великі чисельник і знаменник”.

Також, хоча ще в середині 18 століття виникла гіпотеза про трансцендентність чисел і інших, доказ цього довго не вдавалося одержати. Трансцендентність числа е довів французький учений Ш.Ерміт в 1873 році, а у 1882 році професор Мюнхенського університету Карл Луіз Фердінанд Ліндеман (1852–1939) використовуючи результати, отримані французьким математиком Ш.Ермітом, довів, що – число трансцендентне, тобто воно не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння a_nxⁿ + a_n–1x^n–1+ … + a₁x + a₀ = 0 с цілими коефіцієнтами. Цей доказ поставив крапку в історії найдавнішої математичної задачі „про квадратуру кола”. Тисячоріччя ця задача не піддавалася зусиллям математиків, вираження «квадратура кола» стало синонімом нерозв'язної проблеми. А вся справа виявилася в трансцендентній природі числа .

У даній курсовій роботі розглядається сучасні доведення ірраціональності і трансцендентності чисел π і е, а також розглядаються історичні та сучасні методи наближеного обчислення їх за допомогою рядів і за допомогою ланцюгових дробів.

РОЗДІЛ І

ОСОБЛИВІ ЧИСЛА МАТЕМАТИКИ „π” ТА „е”

1.1 Сутність та історична поява чисел „π” та „е”

Письмова історія числа p починається з єгипетського папірусу, датуємого приблизно 2000 роком до нашої ери, але воно було відомо ще древнім людям. Число p звернуло на себе увагу людей ще в ті часи, коли вони не вміли письмово викладати ні своїх знань, ні своїх переживань, ні своїх спогадів. З тих пір як перші натуральні числа 1,2,3,4,…стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів або їхні довжини, площі або об'єми, люди познайомилися із числом p [21]. Тоді воно ще не позначалося однією з букв грецького алфавіту і його роль грало число 3. Неважко зрозуміти, чому числу p приділяли так багато уваги. Виражаючи величину відносини між довжиною окружності і її діаметром, воно з'явилося у всіх розрахунках пов'язаних із площею кругу або довжиною окружності. Але вже в далекій давнині математики досить швидко й не без подиву виявили, що число 3 не зовсім точно виражає те, що тепер відомо як число (пі). Безумовно, до такого висновку могли прийти тільки після того, як до ряду натуральних чисел додалися дробові або раціональні числа. Так єгиптяни одержали результат: .. Індуси в VVI століттях користувалися числом , , китайці числом , а ще [21].

Позначення числа p походить від грецького слова ("окружність"). Уперше це позначення використовував в 1706 році англійський математик У.Джонс, але загальноприйнятим воно стало після того, як його (починаючи з 1736 року) став систематично вживати Леонард Ойлер. У кінці 18 століття І.Ламберт і А.Лежандр установили, що p ірраціональне число, а у 1882 році Ф.Ліндеман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти ніякому алгебраїчному рівнянню із цілими коефіцієнтами.

Протягом усього існування числа p, аж до наших днів, велася своєрідна "погоня" за десятковими знаками числа p. Леонардо Фібоначі близько 1220 року визначив три перші точні десяткові знаки числа p. В 16 столітті Андріан Антонис визначив 6 таких знаків. Франсуа Вієтт (подібно Архімедові), обчислюючи периметри вписаних і описаного 322 216багатогранників, одержав 9 точних десяткових знаків. Андріан Ван Ромен таким же способом одержав 15 десяткових знаків, обчислюючи периметри 1 073 741 824багатогранників. Лудольф Ван Келень, обчислюючи периметри 32 512 254 720багатогранників, одержав 20 точних десяткових знаків. Авраам Шарп одержав 72 точних десяткових знаків числа p. В 1844 році З.Дазе обчислює 200 знаків після коми числа p, в 1847 році Т.Клаузен одержує 248 знаків, в1853 Ріхтер обчислює 330 знаків, у тім же 1853 року 440 знаків одержує З.Дазе, а у цьому ж році У.Шенкс одержує 513 знаків. З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає [21]:

1949 рік — 2 037 десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC),

1958 рік — 10 000 десяткових знаків (Ф.Женюи, IBM704),

1961 рік — 100 000 десяткових знаків (Д.Шенкс, IBM7090),

1973 рік — 10 000 000 десяткових знаків (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC7600),

1986 рік — 29 360 000 десяткових знаків (Д.Бейли, Cray2),

1987 рік — 134 217 000 десяткових знаків (Я.Канада, NEC SX2),

1989 рік — 1 011 196 691 десяткових знаків (Д.Гудновски й Г.Гудновски, Cray2+IBM3040)"

При обчисленні вірних десяткових знаків числа p користувалися різними способами, деякі, як і Архімед обчислювали периметри вписаних і описаних nбагатогранників, але пізніше стали вдаватися до допомоги рядів. Так Лейбниц обчислював за допомогою ряду [26]:

Шарп застосував ряд [21]:

Л.Ойлер за допомогою ряду [24]:

Джон Валлис ( 16161703) знайшов нескінченний добуток, за допомогою якого можна обчислити число (пі), у вигляді [25]:

Число́ пі (позначається ) –математично визначається в Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметру .

Грецька літера пі.

або як площа круга одиничного радіусу.

Довжина кола дорівнює , якщо його діаметр 1

Рис.1.1. Геометричне трактування числа

Історія числа е (основа експонентної функції).

e — математична константа, основа натурального логарифма, трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ойлера або числом Непера [22]. Позначається рядковою латинською буквою «e». Чисельне значення:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757

Число e може бути визначено декількома способами [22].

• Через бескінечну межу:

(друга чудова межа).

Як сума ряду:

або .

Як єдине число a, для якого виконується

Як єдине позитивне число a, для якого вірно (похідна функції дорівнює самій функції)

Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперовим числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера ( 15501617) [22], однак це необґрунтовано, тому що немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число е чітке позначення. Уперше математично обгрунтоване позначення числа "е" увів Леонард Ойлер (17071783). Він також обчислив точні 23 десяткові знака цього числа після коми, використавши подання числа е у вигляді нескінченного числового ряду [24]:

,

отримане Данилом Бернулі( 17001782). В 1873 році Ерміт довів трансцендентність числа е. Л.Ойлер одержав чудовий результат, що зв'язує числа е, p :

Йому належить і заслуга визначення функції для комплексних значень z, що поклало початок математичному аналізу в комплексній області теорії функцій комплексного змінного. Ойлером були отримані наступні формули:

Клас логарифмів по основі е, називаються натуральними й позначаються як . Експоненціальна функція з основою е має особливий характер – всі похідні функції дорівнюють самій функції:

1.2 Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел

Для того щоб довести ірраціональність і транcцендентність чисел і приведемо з початку деякі визначення, теореми й приклади ірраціональних і трансцендентних чисел [9], [11], [20].

Множина дійсних чисел містить у собі підмножину всіх раціональних чисел, тобто чисел, які можна представити у вигляді кінечного дробу, а всі інші дійсні числа називають ірраціональними.

Означення 1.2.1. Дійсне число називається ірраціональним, якщо воно відмінно від всіх раціональних чисел, тобто якщо при всіх цілих і .

Існування ірраціональних чисел було доведено ще грецькими математиками. Ірраціональність числа була відома ще в V столітті до нашої ери математикам пифагорівскої школи, а доказ цього часто приписується Піфагору, хоча точно невідомо, чи було воно побудовано їм самим або кимнебудь із його учнів. Оскільки множину всіх раціональних чисел можна обчислити, основну масу дійсних чисел становлять ірраціональні числа.

Розглянемо найпростіші методи, які дозволяють установлювати ірраціональність деяких класів чисел. На перший погляд здається невиправданим те, що задача доказу ірраціональності якогонебудь дійсного числа а ставиться до теорії чисел, однак включення такої проблематики в теорію чисел стає відразу ясним, якщо поставити це питання в наступній формі: довести, що не існує цілих чисел і , таких, що