86069 (Топологические пространства)

§1. Топологические пространства

(предварительные сведения)

1. Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f ^–1(О) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:

(1).

Теорема 1.1. Отображение f : X→Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f ^–1(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f ^–1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f ^–1(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f ^–1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению.

1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О₁ О₂.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О₁ и О₂, не имеющих общих точек, то О₁ = CO₂ и O₂ = CO₁. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

1. существуют непустые открытые множества О₁ и О₂, для которых О₁ ∩ О₂ =  и О₁   О₂ = Х;

2. существуют непустые замкнутые множества F₁ и F₂, для которых F₁ ∩ F₂ =  и F₁   F₂ = Х;

3. в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

4. существует непрерывная сюръективная функция φ : Х {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О₁ и О₂ непустые открытые множества, для которых О₁ ∩ О₂ =  и О₁   О₂ = Х. Рассмотрим множества F₁ = СО₁ и F₂ = СО₂. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F₁ ∩ F₂ =  и F₁   F₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F₁ и F₂ непустые замкнутые множества, для которых F₁ ∩ F₂ =  и F₁   F₂ = Х. Рассмотрим множество G = F₁  Х. Множество F₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F₂ (F₁ = CF₂). Поэтому множество G = F₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию φ : Х {1, 2}, при которой

φ(х) =

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A  = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ ^–1(М) = φ ^–1(А   В) = φ ^–1(А)   φ ^–1(В),

причём φ ^–1(А) и φ ^–1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О₁ = φ ^–1(А) и О₂ = φ ^–1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О₁   О₂ .

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F₁ и F₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F₁   F₂. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F₁, либо в F₂.

Доказательство. Пусть F₁ и F₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М  F₁   F₂. Тогда

М = (М ∩ F₁)   (M ∩ F₂).

Так как множества F₁ и F₂ замкнутые в Х, то множества М ∩ F₁ и M ∩ F₂ замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F₂, пустое. Тогда

М = М ∩ F₁  F₁.

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О₁ и О₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O₁   O₂.

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G₁ = f ^–1(O₁) и G₂ = f ^–1(O₂) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности.

1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,

.

Очевидно, что множества образуют искомое конечное подпокрытие множества А.

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yY прообраз f ^–1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f ^–1(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U  Oy точки y.

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U  Oy, т.к., если U = U₁   U₂, где U₁, U₂ – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f  ^–1(U) = f  ^–1(U₁)   f  ^–1(U₂), f ^–1(U₁) ∩ f  ^–1(U₂) = ,

т.е. f ^–1(U) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U  Oy точки y, что трубка f  ^–1(U) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y  Y.

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y  Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. отображение f несвязно над точкой y  Y;

2. существует такая окрестность Oy точки y  Y, что каждая трубка f  ^–1(U) над окрестностью U  Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

3. существует такая окрестность Oy точки y  Y, что каждая трубка f ^–1(U) над окрестностью U  Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

4. существует такая окрестность Oy точки y  Y, что в каждой трубке f ^–1(U) над окрестностью U  Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

5. существует такая окрестность Oy точки y  Y, что для каждой трубки f  ^–1(U) над окрестностью U  Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f  ^–1(U)  {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y  Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U  Oy точки y. Таким образом, трубка f ^–1(U) над окрестностью U  Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f  ^–1(U) = О₁   О₂, О₁ ∩ О₂ = .

Из (2) следует (3). Пусть трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.