А: {X-MX}

MX - MX MX+

Вероятность попадания Х в этот участок равна

Найдём дисперсию случайной величины Х

Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых

xi-MX,

что и требовалось доказать.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел

x1, x2, ... , xn , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{Хп-а< },

(где >0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа >0 и >0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{Xn-a1-

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность сходится по вероятности к MX:

Доказательство. Найдём MYn и DYn :

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим равным , где >0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число.

Как бы ни было мало , всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа ; следовательно, при достаточно большом п

P{Yn-MX}<

P{Yn-MX1-,

а это равносильно сходимости по вероятности Yn к MX

Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX

Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.

Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются.

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х1, Х2, ..., Хn, ...

с различными, в общем случае, MХi и DXi (i= ). Пусть

Если DXiD i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то

Доказательство.

(1.5.1)

Согласно неравенства Чебышева

или, учитывая (1.5.1), имеем

Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное , всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого . Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что

так как зависят от n, а понятие “сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, не зависящей от n.

1.6 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 1.6.1  

-доверительным интервалом называется интервал вида     где такой, что

Число называют доверительной вероятностью.

Другими словами, доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с вероятностью  .

Значение доверительной вероятности выбирается заранее, этот выбор определяется конкретными практическими приложениями.
Смысл величины -- вероятность допустимой ошибки. Часто берут значения и т.п.

Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов.

1. Выбираем функцию , зависящую от выборки и от неизвестного параметра, такую, что ее функция распределения

не зависит от неизвестного параметра .

1. Выбираем два числа и таким образом, чтобы . Подбираем и , удовлетворяющие условиям

(6.1)

1. Таким образом,

(6.2)

причем и не зависят от .

1. Решим двойное неравенство относительно  . В том случае, когда его решением является интервал, обозначим его левый и правый концы через и соответственно. Естественно, они зависят от выборки: , . В силу (6.2)

Следовательно, -- искомый -доверительный интервал.

Замечание 1.6.1  

Описанная процедура, разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции  решается в каждом конкретном случае и по этому поводу нет общих рекомендаций. Во-вторых, совершенно не гарантировано, что решением неравенства в п. 3 будет интервал конечной длины. Вместе с тем, во многих важных случаях изложенный выше метод приводит к хорошим доверительным интервалам. Например, оправдано применение такого метода в случае, когда при каждой фиксированной выборке функция является строго монотонной и непрерывной по переменной  .

Замечание 1.6.2  

В силу неоднозначности выбора функции и чисел  и  , можно заключить, что -доверительный интервал неединственен.

1.7 Сравнение средних

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями:  σ₁² ≠ σ₂². Соответственно имеем и две выборочные дисперсии  s₁² и s₂². Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:

             (1.7.1)

Введём обозначения: θ= σ₁² / σ₂²  , u = s₁² / s₂² и N= n₁/ n₂ .   В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:

 (1.7.2).

Основная сложность этого случая заключается в том, что  подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при  равных объёмах выборок n₁ =  n₂ незнание величины θ= σ₁² / σ₂²  не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.

1.8 Метод минимума X².

Метод минимума X² применим лишь и случае группированного непрерывною рас­пределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полу­ченным с помощью более простого видоизмененного метода миниму­ма X², выражаемого уравнениями

(1.8.1)

или

(1.8.2)

в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия.

Основная теорема о предельном распределении X² для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X². Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому пре­дельному распределению для X². Теперь мы докажем это утверждение.

Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X² были приведены в явной форме

(1.8.3)

для общего случая у неизвестных параметров а₁,...,а_г. Предположим, что выполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.

Во всех множествах асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров имеются члены порядка n^-1/2 та­кие же, как и в (1.8.3). Однако из вывода предельного распреде­ления для у² следует, что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n^-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам и

получаем и показывает,что предельное распределение для .у = (

, ....

) определяется именно указанными членами.

Таким образом, теорема о предельном распреде­лении величины X² справедлива для любого множества асимптоти­чески нормальных и асимптотически-эффективных оценок пара­метров.

1.9  Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

	0	1	…	k	…
P	e-	e-	…		…

Число называется параметром распределения.

Простейший поток событий – такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.

Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:

При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия:

1. Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту.

2. Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси.

3. Пусть t - длина временного промежутка, тогда: (t)= t+o(t), t0.

4. (t)=1- t+o(t), t0.

Математическое ожидание распределения Пуассона равно:

M =

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вариант 23

Задача 1

На отрезок единичной длины наугад ставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превышает величину .

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть дан отрезок длины (Рис. 2.1). Расстояние от точки до концов отрезка превышает величину в том случае, если , где , .

Рис. 2.1

Пусть А – событие, когда . Тогда искомая вероятность .

Для заданных значений и .

Задача 2

В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, которые имеют площади и .

Решить задачу при , , .

Решение:

Поскольку фигуры не пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна . Общая площадь, в которую может попасть точка, равна . Таким образом искомая вероятность . Для заданных значений , и .

Задача 3

Среди лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли билетов. Определить вероятность того, что среди них не менее L выиграшных.

Решить задачу при , , , .

Решение:

Число способов купить билетов, среди которых L выигрышных составляет .

Число способов купить билетов, среди которых L+1 выигрышных составляет , и так далее.

Число способов купить билетов, среди которых выигрышных составляет .

Таким образом, число способов купить билетов, среди которых не менее половины выигрышных составляет

+ +…+ .

Общее число способов купить билетов из составляет .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , и .

Задача 4

В лифт -этажного дома сели пассажиров ( ). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этажа. Определить вероятность того, что хотя бы двое вышли на одном этаже.

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть – событие, когда все пассажиры вышли на разных этажах. Тогда вероятность искомого события .

Найдем . Количество способов всем пассажирам выйти на разных этажах составляет . Общее число способов выхода пассажиров на одном из -го этажа составляет . Тогда .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , .

Задача 5

В двух партиях и процентов доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них одно доброкачественное и одно бракованное?

Решить задачу при и .

Решение:

Пусть – событие обнаружить доброкачественное изделие из -й партии. – событие обнаружить бракованное изделие из -й партии. Тогда искомая вероятность .

,

,

,

.

.

Для заданных значений , искомая вероятность .

Задача 6

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком – р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3.

Решение:

Пусть событие А – цель не поражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одном выстреле равна (1 – р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 – р1)ⁿ¹, вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель при n2 выстрелах равна (1 – р2)ⁿ². Получим

Р(А) = (1 – р1)ⁿ¹ (1 – р2)ⁿ² =

= 0,24²*0,61³= 0,013.

Ответ: 0,013.

Задача 7

Урна содержит М занумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Событие B – хотя бы 1 раз совпадет номер шара и порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найти предельное значение вероятности при М .

М = 10.

Решение:

Количество совпадений одного номера шара и порядкового номера извлечения равно ; количество совпадений двух номеров – ; трех номеров – ; … ; М номеров – . Общее количество способов извлечения М шаров равно . Таким образом получаем вероятность события С:

.

Для М = 10 получим

Найдем предельное значение вероятности:

0

Задача 8

Дана плотность распределения р(х) случайной величины . Найти

1. параметр ;

2. функцию распределения случайной величины ;

3. вероятность выполнения неравенства .

, .

Решение:

1. найдем значение параметра из

2. .

Задача 9

Случайная величина имеет плотность распределения . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

= ,

Решение:

Найдем по формуле

= .

Найдем

=

Ответ: =

ия номера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 - р1

ВЫВОДЫ

Корреляция и корреляционные моменты являются достаточно важными понятиями, имеющими применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики решаются с помощью вычисления коэффициента корреляции или корреляционных моментов. Корреляционный момент – характеристика системы случайных величин, описывающая рассеивания случайных величин и связь между ними. Степень зависимости случайных величин удобнее характеризовать посредством безразмерной величины – коэффициента корреляции.

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Корреляционный анализ считается одним из главных методов в маркетинге, наряду с оптимизационными расчетами, а также математическим и графическим моделированием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая

статистика., М.: Наука, 1979.

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.–М.:Наука, 1969.

2. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория

вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.

1. «Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.

2. А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.

3. И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998.