Министерство образования и науки Украины

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Факультет ПММ

Кафедра ПМ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий.

Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика

Выполнил: Проверил:

ст. группы ******** проф. **********

*****************

Харьков 2007

РЕФЕРАТ

В данном курсовом проекте представлено описание понятий корреляционного момента и его свойств, коэффициента корреляции, случайных событий и их основных числовых характеристик, применения на практике корреляции, а также приведено решение практических задач.

Пояснительная записка состоит из вступления, основной части, выводов, списка литературы.

Записка 28с.

Ключевые слова и выражения:

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАВИСИМОСТЬ.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..….4

1 Теоретическая часть……….……………………………………………………5

1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5

1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10

1.3 Точечные оценки…………………………………………………………..13

1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18

1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19

1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23

1.7 Сравнение средних………………………………………………………....25

1.8 Метод минимума X² ……………………………………………………..…26

1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий…..…28

2 Практическая часть……………………………………………………………30

Выводы…………………………………………………………………………...37

Список литературы……………………………………………………………...38

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайности неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самые главные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основные факторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения, которыми оперирует рассматриваемая теория.

Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие – это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только объясняются.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Доверительные оценки

Выборочная оценка, являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные поставляют доверительные оценки. Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной

, распределение которой зависит от параметра

. Пусть

– такие функции выборок, что при произвольном

выполняется равенство

. (1.1.1)

Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра

с мерой надежности

(с уровнем значимости

).
Если имеется реализация

выборки

, то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал

и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в

случаев внутри вычисленных доверительных границ

и

. Равенство (1.1.1) можно интерпретировать и так: случайный интервал

“покрывает” истинный параметр с доверительной вероятностью

.

В математической статистике часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p–квантилью случайной величины

с функцией распределения

называется решение уравнения

.
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости

(процентной точкой уровня

), непрерывной случайной величины

с функцией распределения

называется значение случайной величины

, для которой

, или

. Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости

непрерывной случайной величины

с функцией распределения

называются значения случайной величины

и

, для которых

;

;

.

Для симметричных случайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки , нижние и верхние критические границы удовлетворяют условию

, что дает возможность приводить таблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших

. Так, для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости

.

Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1.

Рис.1. р-квантиль и критические точки для закона распределения .

1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам

Частота является точечной оценкой

, она асимптотически нормально распределена с

и

.

Если ,то

. Зададим

. Величина

такая, что

может быть найдена из уравнения

при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к

. По заданному

можно найти

так, чтобы

. Из неравенства

следует, что

, откуда можно вычислить оба значения

и

, которые представляют доверительные оценки для

. Если

выбрано достаточно малым, то случайный интервал

“покрывает”

почти наверное.

1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона

1.1.2.1 Доверительная оценка при известном

,

, тогда

.

Соответственно,

.

Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости нижняя и верхняя критические границы соответственно равны

и

.

Имеем

или

.

.

Таким образом, - доверительная оценка для параметра a с мерой надежности

.

1.1.2.2 Доверительная оценка при неизвестном

Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.

Определяя одностороннюю критическую точку из условия

,получим доверительную оценку для а в виде

.

Для конкретной выборки объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.

1.1.2.3 Доверительная оценка при неизвестном

Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина удовлетворяет

- распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости

и

степенями свободы находим критические точки

и

распределения

такие, что

,

, или

.

Таким образом , есть доверительная оценка

с мерой надежности

.

1.2 Метод наибольшего правдоподобия

Пусть дана выборка объема n из генеральной совокупности с непрерывно распределенной случайной величиной X. Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр

, который следует оценить по выборке, и имеет вид

.

Функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.1)

Рассмотрим случай дискретной случайной величины X с возможными значениями и вероятностями

. Обозначим через

наибольшее из возможных значений, которое встречается в выборке, а через

­— абсолютные частоты, с которыми появляются значения

в выборке

. В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра

, определяемую соотношением

. (1.2.2)

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Параметр находят, решая относительно

уравнение

. (1.2.3)

Часто вместо (1.2.3) используют уравнение

,

(1.2.4)

Если плотность или вероятности

зависят от

параметров, то наиболее правдоподобную оценку системы параметров

получают решением системы уравнений

(1.2.5)

или

. (1.2.6)

Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условиях они являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормально распределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия.