85963 (612613), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пример 1.2.1 Оценить вероятность некоторого события

. Пусть

Решение. ;

. Пусть в

независимых наблюдениях событие

произошло

раз, т.е.

. Таким образом, имеем

,

. Отсюда следует, что

. Следовательно,

есть наиболее правдоподобная оценка параметра

. Случайная величина k биномиально распределена,

;

Следовательно,

— несмещенная оценка вероятности, асимптотически состоятельная и асимптотически нормальная.

Пример 1.2.2. Пусть случайная величина распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром

. Проведем выборку и получим значения

(

– целые числа). Пусть

– набольшее из наблюдаемых в выборке чисел,

– абсолютные частоты, с которыми числа

появляются в выборке ;

. Тогда согласно формуле (3.2)

. Из соотношения получаем

, откуда

.

Величина есть, таким образом, правдоподобная оценка для

и вместе с тем состоятельная, асимптотически нормально распределенная.

Пример 1.2.3. Пусть случайная величина распределена нормально с параметрами

и

. Их следует оценить исходя их выборки

объема

.

Решение. Функция правдоподобия

,

следовательно

.

Согласно (2.5), получаем следующие уравнения для определения и

:

;

, откуда

и

. Следовательно,

есть наиболее правдоподобная оценка параметров

. Мы уже знаем, что

не является несмещенной оценкой, а только асимптотически не смещена.

1. Точечные оценки

Одной из задач математической статистики явля­ется оценка неизвестных параметров выбранной параметриче­ской модели.

Очень часто в приложениях рассматривают параметриче­скую модель. В этом случае предполагают, что закон рас­пределения генеральной совокупности принадлежит множеству

, где вид функции распределения задан, а век­тор параметров неизвестен. Требуется найти оценку для или некоторой функции от него (например, ма­тематического ожидания, дисперсии) по случайной выборке из генеральной совокупности X.

Например, предположим, что масса X детали имеет нор­мальный закон распределения, но его параметры неизвестны. Нужно найти приближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, х_п, полученным в экспери­менте (по реализации случайной выборки).

Как уже отмечалось , в математической статисти­ке существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интерваль­ным оценкам посвящена следующая глава.

1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки

Пусть — случайная выборка из генеральной совокупности X, функция распределения которой известна, а — неизвестный параметр, т.е. рассматривается параметрическая модель (для простоты изложения будем считать пока, что — скаляр).

Требуется построить статистику , которую можно было бы принять в качестве точечной оценки параметра .

Интуитивно ясно, что в качестве оценки параметра мож­но использовать различные статистики. Например, в качестве точечной оценки для можно предложить такие статистики:

Какую же из этих статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими свойствами должна обла­дать статистика , чтобы она была в неко­тором смысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам и методам их нахождения посвящена на­стоящая глава.

Заметим, что в дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметра параметрической модели, хотя все ска­занное можно перенести и на функцию от в.

Определение 1.3.1.1 Статистику называют состоятельной оценкой параметра , если с ростом объема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому пара­метру , т.е.

Иными словами, для состоятельной оценки отклонение ее от на величину е и более становится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценки является очень важным, ибо несостоятельная оценка практически беспо­лезна. Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра .

Определение 1.3.1.2. Статистику называют несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожи­дание совпадает с , т.е. для любого фиксирован­испер.

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценка является асимптотически несмещенной, если при она сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

• Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра . Если дисперсии удовлетворяют условию

(1.3.1)

для любого фиксированного пи , то следует предпочесть оценку , поскольку разброс статистики относительно параметра меньше, чем разброс статистики

Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра , имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка , что неравенство (2.1) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра .

Определение 1.3.1.4. Статистику называют несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожи­дание совпадает с , т.е. для любого фиксирован­ниспер

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценка является асимптотически несмещенной, если при она сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

• Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра . Если диисперсии

удовлетворяют условию

(1.3.2)

для любого фиксированного пи , то следует предпочесть оценку , поскольку разброс статистики относительно параметра меньше, чем разброс статистики

Определение. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра , имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка , что неравенство (3.2) выполняется для всех оценок из этого класса, то говорят, что оценка является эффективной в данном классе оценок.

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несме­щенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической ста­тистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оце­нок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех ли­нейных оценок, т.е. оценок вида

где , для произвольной параметрической модели.

Напомним, что элементы случайной выборки

являются независимыми случайными величинами и распре­деленными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

1.4 Критерии согласия

Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.

Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - –ритерием согласия.

Рассмотрим критерий согласия 2, или критерий Пирсона.

Разобьем ось х на т интервалов Если истинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n

Рассмотрим случайную величину (ni - –лучайное)

при она стремится к 2 - –аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).

Решающее правило для уровня значимости :

При построении 2n должно выполняться условие ni10, в противном случае объединяют интервалы.

В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1- и обусловлено конечностью выборки.

1.5 Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство

где — любое положительное число.

Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-; MX+), то есть

Характеристики

Список файлов курсовой работы