85931 (Полунормальные подгруппы конечной группы), страница 5

Если факторгруппа имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если нормальная подгруппа группы имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если – силовское множество группы и – некоторый гомоморфизм группы в группу , то является силовским множеством группы .

Доказательство. Пусть – силовское множество группы . Рассмотрим множество , в котором может оказаться более одной единичной подгруппы, но в этом случае следует оставить только одну единичную подгруппу. Кроме множество включает силовские подгруппы факторгруппы по лемме 3.1.4. Следовательно, есть силовское множество факторгруппы .

Пусть – силовское множество группы . Из равенства и из того, что по предыдущей лемме является силовской подгруппой в группе получаем, что есть силовское множество в .

Теперь пусть в факторгруппе известно силовское множество . Тогда существуют силовские подгруппы такие, что для . Рассмотрим простые числа . Для всех таких простых чисел существуют силовские –подгруппы , где . Теперь будет силовским множеством группы . И выполняется равенство

Если – силовское множество нормальной группы , то по предыдущей лемме и по теореме Силова найдутся силовские –подгруппы группы , для , такие, что . Теперь рассмотрим все простые числа

и для каждого такого простого числа

в группе

возьмем по одной силовской

–подгруппе

. Теперь

будет силовским множеством группы

и

.

Рассмотрим – силовское множество группы

и гомоморфизм

группы

в группу

. По принятому обозначению

. По свойствам гомоморфизма подгруппа

будет силовской подгруппой группы

. То есть

есть силовское множество группы

.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.6 Пусть – силовское множество группы

и

–

–квазинормальная подгруппа группы

. Тогда верны следующие утверждения:

если – гомоморфизм группы

, тогда подгруппа

–квазинормальна в группе

;

если и

– нормальная подгруппа группы

, то подгруппа

–квазинормальна в группе

;

если – произвольная нормальная подгруппа группы

, то в факторгруппе

подгруппа

будет

–квазинормальной.

Доказательство. По лемме 3.1.5 множество является силовским множеством группы

. Так как

для

, то имеем

и

есть

-квазинормальная подгруппа в

.

По лемме 3.1.5 множество будет силовским множеством группы

. Так как

– подгруппа группы

, то

– подгруппа группы

. Поэтому

.

По лемме 3.1.5 множество будет силовским множеством факторгруппы

. И на основании равенства

получаем перестановочность подгруппы

с подгруппами силовского множества

факторгруппы

.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.7 Пусть группа с силовским множеством

,

– подгруппа группы

. Если подгруппа

–квазинормальна, то сама подгруппа

будет

–квазинормальной для любого элемента

группы

.

Доказательство. По условию , для любой подгруппы

, произвольного элемента

. Рассмотрим произведение

Так как – подгруппа группы

, то

– подгруппа, поэтому

, то есть

–

–квазинормальная подгруппа группы

.

Лемма доказана.

Пусть – силовское множество группы

. Выше пересечение

определялось для нормальной подгруппы

группы

. В этом случае по лемме 3.1.5 пересечение является силовским множеством группы

. Если

– произвольная, не обязательно нормальная, подгруппа группы

, то положим

. Отметим, что в этом случае

может не быть силовским множеством группы

.

Лемма 3.1.8 Пусть – группа,

– ее силовское множество. Если

–

–квазинормальная подгруппа группы

, причем

и индекс

в группе

примарный, то

– примарная группа.

Доказательство. Пусть и пусть

. Так как

–

–квазинормальная подгруппа, то

– подгруппа группы

для каждого

. По теореме об индексах

где ,

. Для каждого

имеем

, то есть

и

. Но по условию

, поэтому

и

–

–группа.

Лемма доказана.

Лемма 3.1.9 Пусть – нормальная подгруппа группы

. Если

– циклическая

–подгруппа факторгруппы

, то существует элемент

такой, что

–

–подгруппа и

.

Доказательство. Пусть – минимальное добавление к подгруппе

в группе

. Тогда

по лемме 2.3.23, поэтому

является

-группой. Так как

и

циклическая, тогда

– циклическая подгруппа, то есть

подгруппа из

для некоторого

.

Лемма доказана.

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

Будем использовать запись для обозначения некоторого силовского множества группы

.

Теорема 3.2.1 Пусть группа , где подгруппы

и

дисперсивны по Оре. И пусть

и

– силовские множества подгрупп

и

. Если циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, то группа

дисперсивна по Оре.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению. Пусть – не дисперсивная по Оре группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда для любой неединичной нормальной подгруппы

факторгруппа

является произведением своих подгрупп

и

. Так как

и

, то подгруппы

и

дисперсивны по Оре. Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества подгрупп

и

соответственно равны множествам

и

.

Пусть – произвольная циклическая примарная подгруппа факторгруппы

. Рассмотрим произведение циклической подгруппы

и произвольной силовской подгруппы

. Ввиду леммы 3.1.9 существует примарный элемент

такой, что

. Поэтому

Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных подгрупп из с элементами силовского множества

. Таким образом, для факторгруппы

все условия леммы выполняются, а так как порядок факторгруппы

меньше порядка группы

, то по индукции факторгруппа

будет дисперсивна по Оре.

Пусть теперь – наибольший простой делитель порядка группы

и

– силовская

-подгруппа подгруппы

. Так как

дисперсивна по Оре, то подгруппа

нормальна в

и

. Если

– некоторый примарный

-элемент из

, то

по условию леммы. Теперь

нормальная подгруппа в

и

-холловская подгруппа

из

содержится в

. Поэтому

. Аналогично,

, поэтому силовская

-подгруппа

группы

нормальна в группе

. По индукции факторгруппа

дисперсивна по Оре, а так как

– наибольший простой делитель порядка группы

, то группа

дисперсивна по Оре.

Теорема доказана.

Пусть и

– подгруппы группы

. Будем говорить, что

квазинормальна в

, если

перестановочна с каждой подгруппой из

. Тогда можно сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.

Следствие 3.2.2. Пусть и

– дисперсивные по Оре подгруппы группы

такие, что

. И пусть

квазинормальна в

и

квазинормальна в

. Тогда группа

дисперсивна по Оре.

Теорема 3.2.3 Пусть ,

– сверхразрешимые подгруппы группы

. И пусть

и

– силовские системы подгрупп

и

, и

. Если циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны и циклические примарные подгруппы из

–квазинормальны, то группа

сверхразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует несверхразрешимая группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы верны.

Проверим, что если – силовская система группы

, то

– силовская система факторгруппы

. Пусть

– силовская система группы

и

– нормальная подгруппа группы

. Отметим, что по определению силовской системы

для всех подгрупп из

. Тогда в факторгруппе

рассмотрим множество подгрупп

. По лемме 3.1.4

является силовской подгруппой факторгруппы

. Возьмём две произвольные подгруппы

и

из множества

. Рассмотрим их произведение

Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что является силовской системой факторгруппы

.

Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами группы . По индукции все нетривиальные факторгруппы группы

сверхразрешимы. Если подгруппа Фраттини

, то все условия теоремы переносятся на факторгруппу

. И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы

. Откуда вытекает сверхразрешимость и самой группы

. Поэтому подгруппа Фраттини группы

единична. Если в группе

найдутся две минимальные нормальные подгруппы

и

, то в силу индуктивных рассуждений факторгруппы

и