Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет: Механической технологии древесины

Кафедра: Технологии композиционных материалов и древесиноведения

Планы второго порядка. Реализация В₃-плана

Реферат

В данном курсовом проекте содержится разработка метода планирования второго порядка на примере В₃-плана, получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка, статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика.

Пояснительная записка содержит: листов машинописного текста, 7 таблиц, рисунков, 1 библиографического наименования.

Содержание

Реферат

Введение

1 Расчетная часть

1.1 Значение и анализ выходной величины

1.2 Статистический анализ полученных данных

1.2.1. Проверка на наличие грубых измерений

1.2.2 Проверка однородности дисперсий

1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости

2 Построение математической модели

2.1 Расчет коэффициентов регрессии

2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии

2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии

2.4 Проверка модели на адекватность

2.5 Построение графической зависимости

Заключение

Список использованных источников

Введение

Важное место в повышении уровня исследований в деревообрабатывающей промышленности занимают вопросы математического планирования эксперимента.

Математическая теория эксперимента предполагает многофакторный, системный, вероятностно-статистический подход исследований процессов и явлений.

Научный подход к обработке результатов наблюдений составляет предмет изучения математической статистики. Математическая статистика - это наука о математических методах обработки, систематизации и использовании результатов наблюдений для научных и практических выводов.

Методы математической статистики в настоящее время проникли во все области научных исследований, от физики и химии до экономики и социологии. Это объясняется тем, что каждая наука нуждается в анализе и обработке добытых ею факторов.

Роль математической статистики в исследовании лесной и деревообрабатывающей промышленности особенно велика. Для предмета труда этой области промышленности – древесины - характерно большое разнообразие характеристик. Поэтому, проведение научных исследований в лесной и деревообрабатывающей промышленности всегда связано с большим числом наблюдений, результаты которых обрабатывают при помощи методов математической статистики.

Цель курсовой работы: получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка, статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика

1 Расчетная часть

1.1 Значение и анализ выходной величины.

Исследование зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов.

В рассматриваемом частном случае реализации В₃ – плана участвуют три основных фактора, каждый из которых имеет диапазон варьирования:

X_1min11max

X_2min22max (1.1)

X_3min33_max

Основной уровень или середину диапазона выравнивания находим из соотношения:

. (1.2)

Уровни варьирования переменных факторов занесем в таблицу 1.1

Таблица 1.1 – Переменные факторы и уровни их варьирования

Наименование факторов		Обозначения факторов		Уровни варьирования
				верхний +1		основной 0	нижний -1
1. Диаметр распиливаемых бревен, d, см	X1		56		48	40
2. Толщина бруса, Н, мм	X2		225		175	125
3. Количество сечений, m, шт	X3		9		7	5

В результате проведенных опытов получены значения выходных величин и проведен первичный анализ.

Среднее значение выходной величины рассчитывается по формуле:

_j= , (1.3)

где n – количество опытов.

Выборочные дисперсии по каждому опыту рассчитываются по следующей формуле:

S_j²= . (1.4)

Среднеквадратическое отклонение:

S_j= . (1.5)

Полученные данные занесем в таблицу 1.2

Таблица 1.2 – Значения выходных величин

Номер опыта	Заданные значения выходной величины					Анализ выходной величины
	Y1j	Y2j	Y3j	Y4j	Y5j	Yjj	Sjj2	Sij
1	17	15.6	17.7	14.5	15.3	16.02	1.697	1.30269
2	29.4	38.5	37.4	33.8	29.2	33.66	18.868	4.343731
3	14.9	11.2	14.9	12.8	11.7	13.1	3.035	1.742125
4	28.7	26.6	27.9	24	29.6	27.36	4.743	2.177843
5	35	33	38.5	28.7	31.7	33.38	13.427	3.664287
6	67.5	51.8	52.9	62.3	62.1	59.32	45.322	6.732162
7	36.8	31.6	39	33.9	32.5	34.76	9.493	3.081071
8	53.3	58.1	53.5	62.3	56.9	56.82	13.772	3.711065
9	20.8	19.5	21.1	18	17.7	19.42	2.427	1.557883
10	35.4	42.7	42.5	37.3	36.9	38.96	11.548	3.398235
11	33.1	35	32.3	26.2	26.3	30.58	16.587	4.072714
12	28.1	24.7	28.8	26.1	27.8	27.1	2.785	1.668832
13	23.9	24.8	25.7	23.3	20.4	23.62	4.067	2.01668
14	48.2	46.2	45.9	55	48.9	48.84	13.493	3.673282

1.2 Статистический анализ полученных данных

1.2.1 Проверка на наличие грубых измерений

Наличие дублированных опытов можно оценить имеющиеся выборки по каждому опыту на предмет грубых измерений (табл. 1.3). Для этого сомнительный результат исключают из выборки.

По оставшимся данным вычисляют (табл. 1.4):

• среднее арифметическое:

, (1.6)

где i=1…4; j=1…14.

• оценка дисперсии:

S_j²= . (1.7)

Таблица 1.3 – Проверка на наличие промахов

Номер опыта	Заданные значения выходной величины					Анализ выходной величины
	Y1j	Y2j	Y3j	Y4j	Y5j	Yjj	Sjj2	Sij
1	17	15.6	17.7	14.5	15.3	16.02	1.697	1.30269
2	29.4	38.5	37.4	33.8	29.2	33.66	18.868	4.343731
3	14.9	11.2	14.9	12.8	11.7	13.1	3.035	1.742125
4	28.7	26.6	27.9	24	29.6	27.36	4.743	2.177843
5	35	33	38.5	28.7	31.7	33.38	13.427	3.664287
6	67.5	51.8	52.9	62.3	62.1	59.32	45.322	6.732162
7	36.8	31.6	39	33.9	32.5	34.76	9.493	3.081071
8	53.3	58.1	53.5	62.3	56.9	56.82	13.772	3.711065
9	20.8	19.5	21.1	18	17.7	19.42	2.427	1.557883
10	35.4	42.7	42.5	37.3	36.9	38.96	11.548	3.398235
11	33.1	35	32.3	26.2	26.3	30.58	16.587	4.072714
12	28.1	24.7	28.8	26.1	27.8	27.1	2.785	1.668832
13	23.9	24.8	25.7	23.3	20.4	23.62	4.067	2.01668
14	48.2	46.2	45.9	55	48.9	48.84	13.493	3.673282

Затем, определяется расчетное значение t – критерия Стьюдента для сомнительного результата

t_расч= . (1.8)

Таблица 1.4 – Результаты проверки наличия промахов

Номер опыта	Сомнительный элемент	Статистики для усеченной выборки			Расчетное значение критерия Стьюдента, tрасч
		Yjj	Sjj2	Sjj
1	17.7	15.6	1.086666667	1.042433051	2.01451786
2	38.5	32.45	15.39666667	3.923858645	1.54184963
3	11.2	13.575	2.5425	1.594521872	-1.489474708
4	29.6	26.8	4.233333333	2.057506582	1.360870495
5	38.5	32.1	6.98	2.641968963	2.422435725
6	67.5	57.275	32.54916667	5.705187698	1.792228502
7	36.8	34.25	10.92333333	3.305046646	0.771547356
8	62.3	55.45	5.85	2.418677324	2.83212644
9	17.7	19.85	2.003333333	1.415391583	-1.519014261
10	42.7	38.025	9.569166667	3.093406968	1.51127868
11	35	29.475	13.97583333	3.738426585	1.477894476
12	24.7	27.7	1.313333333	1.146007563	-2.617783772
13	25.7	23.1	3.62	1.902629759	1.366529661
14	55	47.3	2.18	1.476482306	5.215098053

По выбранному уровню значимости (q=0,05) и числу степеней свободы (f=3) находим табличное значение критерия (t_qf) [1. табл. Д1].

t_табл=3,18

t_расч.qf .

1.2.2 Проверка однородности дисперсий

Проверку однородности дисперсий при полученном виде дублирования проводят с помощью G – критерия Кохрена:

G_расч= , (1.11)

где - сумма всех дисперсий;

S²_max – наибольшая из всех найденных дисперсий.

G_расч=13,98/112,22= 0,125

При q=0,05 и f=n-1=3, G_табл=0,29 [1. табл. Ж1].

Так как G_расч табл, то гипотеза об однородности дисперсии опытов принимается.

1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости

Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле:

S^{2 ,} (1.12)

где N- число опытов.

S²{y}=112,22/14= 8,02

Число степеней свободы для данной процедуры:

f_y=N(n-1) (1.13)

f_y=3*14=42.

2 Построение математической модели

2.1 Расчет коэффициентов регрессии

По результатам В₃-план построим математическую модель:

Y=b₀+b₁*x₁+b₂*x₂+b₃*x₃+b₁₁*x₁²+b₂₂*x₂²+b₃₃*x₃²+b₁₂*x₁*x₂+b₁₃*x₁*x₃+b₂₃*x₂*x₃

Таблица 2.1 – Матрица для расчета коэффициентов регрессии

№ опыта	X0	X1	X2	X3	X11	X22	X33	X12	X13	X23	Yij	Ŷij
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	16.02	15.92
2	1	-1	1	1	1	1	1	-1	-1	1	33.66	33.60
3	1	1	-1	1	1	1	1	-1	1	-1	13.1	12.95
4	1	-1	-1	1	1	1	1	1	-1	-1	27.36	27.00
5	1	1	1	-1	1	1	1	1	-1	-1	33.38	33.74
6	1	-1	1	-1	1	1	1	-1	1	-1	59.32	59.47
7	1	1	-1	-1	1	1	1	-1	-1	1	34.76	34.82
8	1	-1	-1	-1	1	1	1	1	1	1	56.82	56.92
9	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	19.42	19.25
10	1	-1	0	0	1	0	0	0	0	0	38.96	39.13
11	1	0	1	0	0	1	0	0	0	0	30.58	30.22
12	1	0	-1	0	0	1	0	0	0	0	27.1	27.46
13	1	0	0	1	0	0	1	0	0	0	23.62	24.29
14	1	0	0	-1	0	0	1	0	0	0	48.84	48.17

Используя матрицу базисных функций, табл. 2.1, коэффициенты регрессии определяем по следующим формулам:

- свободного члена:

b₀=- ; (2.1)

- линейных коэффициентов регрессии:

b_i= ; (2.2)

- квадратичных коэффициентов:

b_ii = ; (2.3)

- коэффициентов при парных взаимодействиях:

b_iu= . (2.4)

2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии

Формулы для определения дисперсий: - дисперсия оценки свободного члена:

S²{b₀}= ; (2.5)

S²{b₀}=3,26

- дисперсия оценки линейных коэффициентов регрессии:

S²{b_i}= ; (2.6)

S²{b_i}=0,80

- дисперсия оценки квадратичных коэффициентов регрессии:

S²{b_ij}= ; (2.7)

S²{b_ii}=3,26

- дисперсия оценки коэффициентов при парных взаимодействиях:

S²{b_iu}= . (2.8)

S²{b_iu}=1,00

2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии

Для оценки значимости регрессии используем t – критерий Стьюдента. По следующим формулам определяются расчетные значения t – критерия Стьюдента:

t_расчi= , (2.9)

где S{b_i}= - среднеквадратическое отклонение соответствующих дисперсий коэффициентов регрессии;

t_расчii= , (2.10)

t_расчiu= . (2.11)

Таблица 2.2 - Проверка значимости коэффициентов регрессии

обозначение коэффициентов регрессии	значение коэффициентов регрессии	Расчетные значения t-критерия Стьюдента
b0	29.98	9
b1	-9.94	-12
b2	1.38	2
b3	-11.94	-15
b11	-0.79	0
b22	-1.14	0
b33	6.25	2
b12	-0.91	-1
b13	2.01	2
b23	1.01	1

По t – критерию Стьюдента, по заданному уровню значимости (q=0,05) и числу степеней свободы (f_y=42), связанному с дисперсией воспроизводимости, находим табличное значение t – критерия Стьюдента [1. табл. Д1]:

t_табл =2,02

Если t_расч, > t_табл, то соответствующий коэффициент регрессии значим. Незначимые коэффициенты регрессии должны быть исключены из математической модели. Однако, в данной расчетной части с целью сохранения единообразия расчетов процедура исключения не проводится.

Получена следующая математическая модель в нормализованных обозначениях факторов:

Y=101,65+42,425х₁+2,9х₂+15,5х₃+8,4х₁₁-2,98х₂₂-2,46х₃₃₊2,22х1х2+6,28х1х3+1,11х₂х₃

2.4 Проверка модели на адекватность

Для проверки адекватности модели используют дисперсию адекватности S²_aq, процедура расчета которой зависит от вида дублирования опытов. Так как в нашем случае дублирование равномерное, то дисперсия адекватности рассчитывается по формуле:

(2.12)

где f_aq=N-p=14-10=4,

где p – число оцениваемых коэффициентов;

S²_aq= 0,39

Затем, по F – критерию Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность S²_aq дисперсии адекватности (с числом степеней свободы f_aq):

F_расч= (2.13)

F_расч= 0,39/8,02=0,049

По таблице значения F - критерия Фишера [1. табл. Е1]:

F_табл=2,84. Так как F_табл.>F_расч, следовательно, найденную модель можно считать адекватной.

Таблица 2.3 – Математическая модель

Номер опыта	Факторы в натуральных обозначениях				Значение выходной величины
	X1, d, см	X2, Н, мм	X3 , m, шт	опытное		модельное
1	56	225	9	15.9055		15.9220
2	40	225	9	32.0175		33.6000
3	56	125	9	13.7255		12.9480
4	40	125	9	26.3175		26.9960
5	56	225	5	33.0255		33.7440
6	40	225	5	57.4575		59.4720
7	56	125	5	34.8455		34.8200
8	40	125	5	55.7575		56.9180
9	56	175	7	19.3855		19.2460
10	40	175	7	37.8975		39.1340
11	48	225	7	29.1295		30.2220
12	48	125	7	27.1895		27.4580
13	48	175	9	24.0095		24.2940
14	48	175	5	47.2895		48.1660

Уравнение регрессии в натуральных обозначениях факторов следующее:

Y=193,2-0,53d+0,23H-35,65m-0,012d²-0,0005H²+1,56m²-0,0022dH+0,13dm+0,01Hm

Таблица 2.4 – Значения выходной величины.

X1X2	40	44	48	52	56
125	162.738	155.4855	147.85	139.83	131.426
150	162.85	155.378	147.522	139.282	130.658
175	162.338	154.6455	146.57	138.11	129.266
200	161.2	153.288	144.992	136.312	127.248
225	159.438	151.3055	142.79	133.89	124.606

Таблица 2.5 – Значения выходной величины.

X1X3	40	44	48	52	56
5	-90.45	-99.202	-108.34	-117.86	-127.76
6	-148.46	-157.732	-158.03	-177.43	-187.85
7	-209.59	-219.382	-207.72	-240.12	-251.06
8	-273.84	-284.152	-257.41	-305.93	-317.39
9	-341.21	-352.042	-307.1	-374.86	-386.84

Таблица 2.6 – Значения выходной величины.

X2X3	125	150	175	200	225
5	81.1375	84.7	87.6375	89.95	91.6375
6	63.8975	67.71	70.8975	73.46	75.3975
7	49.7775	53.84	57.2775	60.09	62.2775
8	38.7775	43.09	46.7775	49.84	52.2775
9	30.8975	35.46	39.3975	42.71	45.3975

2.5 Построение графической зависимости

Р исунок 2.1 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и толщины бруса.

Рисунок 2.2 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и количества сечений.

Рисунок 2.3 – Зависимость посылки по мощности привода от толщины бруса и количества сечений.

Рисунок 2.4 – График зависимости посылки по мощности привода от некоторых технологических факторов.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы мы изучили методы планирования второго порядка на примере В₃ плана, получили и исследовали математическую модель объекта в виде полинома второго порядка, провели статистический анализ полученного уравнения.

Анализируя полученную модель, получаем, что значимыми являются все три фактора.

Полученная модель позволяет предсказать значения выходной величины для любой точки внутри области варьирования факторов.

В результате расчета было получено, что различие между дисперсиями незначимо, следовательно, можно считать найденную модель объекта адекватной.

Список использованных источников

1. Л.Л. Кротова и др. Научные исследования в деревообработке. Планы второго порядка. Реализация В₃ плана. Учебное пособие по выполнению курсовой работы студентов специальности 250200 всех форм обучения/Л. Л. Кротова, А. А. Филлиповч, В. Ю. Буданов. - Красноярск: СибГТУ, 2003.-36с.