85776 (Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях), страница 7

Исследование в матричных играх начинается с нахождения её чистой цены. Если матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, то нахождением чистой цены заканчивается исследование игры. Если же в игре нет решения в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор чистых стратегий, применённых в соответствии с установленным распределением вероятностей. Матричная игра, решаемая с использованием смешанных стратегий, называется игрой со смешанным расширением.

Стратегии, применённые с вероятностью, отличной от нуля, называются активными стратегиями.

Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:

Vн V Vв.

При этом условии величина V называется ценой игры.

Кроме того, доказано, что, если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры V, независимо от того, каких стратегий придерживается другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий. Поэтому, для достижения наибольшего гарантированного выигрыша второму игроку также необходимо придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии.

Решение матричных игр со смешанным расширением методами линейного программирования

Решение матричной игры со смешанным расширением – это определение оптимальных смешанных стратегий, то есть нахождение таких значений вероятностей выбора чистых стратегий для обоих игроков, при которых они достигают наибольшего выигрыша.

Для матричной игры, платёжная матрица которой показана на рис. 1.1, V_н V_в, определим такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока 1 (p₁, p₂,…, p_m) и для игрока 2 (q₁, q₂,…, q_n), при которых игроки достигали бы своего максимально гарантированного выигрыша.

Если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то, по условию задачи, его выигрыш не может быть меньше цены игры V. Поэтому данная задача может быть представлена для игроков в виде следующих систем линейных неравенств:

Для первого игрока:

Для второго игрока:

Чтобы определить значение V, разделим обе части каждого из уравнений на V. Величину p_i/V обозначим через x_i, а q_j/V – через y_j.

Для игрока 1 получим следующую систему неравенств, из которой найдём значение 1/v:

Для игрока 1 необходимо найти максимальную цену игры (V). Следовательно, значение 1/V должно стремиться к минимуму.

Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

min Z = min 1/V = min (x₁ + x₂ + … + x_m)

Для игрока 2 получим следующую систему неравенств, из которой найдём значение 1/v:

Для игрока 2 необходимо найти минимальную цену игры (V). Следовательно, значение 1/V должно стремиться к максимуму.

Целевая функция задачи будет иметь следующий вид:

Все переменные в данных системах линейных неравенств должны быть неотрицательными: x_i = p_i/V, а y_i = q_j/V. Значения p_i и q_j не могут быть отрицательными, так как являются значениями вероятностей выбора стратегий игроков. Поэтому необходимо, чтобы значение цены игры V не было отрицательным. Цена игры вычисляется на основе коэффициентов выигрышей платёжной матрицы. Поэтому, для того, чтобы гарантировать условие неотрицательности для всех переменных, необходимо, чтобы все коэффициенты матрицы были неотрицательными. Этого можно добиться, прибавив перед началом решения задачи к каждому коэффициенту матрицы число K, соответствующее модулю наименьшего отрицательного коэффициента матрицы. Тогда в ходе решения задачи будет определена не цена игры, а величина

V* = V + K

Для решения задач линейного программирования используется симплекс-метод. [1, 5].

В результате решения определяются значения целевых функций (для обоих игроков эти значения совпадают), а также значения переменных x_i и y_j.

Величина V* определяется по формуле: V* = 1/z

Значения вероятностей выбора стратегий определяются: для игрока 1: P_i = x_iV*: для игрока 2: q_i = y_iV*.

Для определения цены игры V из величины V* необходимо вычесть число K.

Пример решения матричной игры со смешанным расширением

Рассмотрим пример решения матричной игры со смешанным расширением. Платёжную матрицу игры составим на основе исходных данных, заменив лишь значения долей продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношений цен (табл. 2.1).

Таблица 2.1 - Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

Применив к исходным данным задачи формулу (1) определения разницы прибыли от производства продукции, получим следующую платёжную матрицу

Платёжная матрица в игре «Борьба двух предприятий за рынок продукции региона»

В данной матрице нет доминируемых или дублирующих стратегий. Нижняя цена игры равна 0,175, а верхняя цена игры равна 0,24. Нижняя цена игры не равна верхней. Поэтому решения в чистых стратегиях не существует и для каждого из игроков необходимо найти оптимальную смешанную стратегию.

Решение задачи

1. В данной матрице имеются отрицательные коэффициенты. Для соблюдения условия неотрицательности в задачах линейного программирования прибавим к каждому коэффициенту матрицы модуль минимального отрицательного коэффициента. В данной задаче к каждому коэффициенту матрицы необходимо прибавить число 1,5 – значение модуля наименьшего отрицательного элемента матрицы. Получим платёжную матрицу, преобразованную для выполнения условия неотрицательности

Платёжная матрица, преобразованная для выполнения условия неотрицательности

2. Опишем задачу линейного программирования для каждого игрока в виде системы линейных неравенств:

Для игрока 1:

1,67x1 + 4,5x2 + 2,25x3 1

2,12x1 + 0x2 + 2x3 1

1,74x1 + 0,7x2 + 1,675x3 1

x1 0; x2 0; x3 0

min Z = x1 + x2 + x3

Для игрока 2:

1,67y1 + 2,12y2 + 1,74y3 1

4,5y1 + 0y2 + 0,7y3 1

2,25y1 + 2y2 + 1,675y3 1

y1 0; y2 0; y3 0

max Z = y1 + y2 + y3

3. Решим обе задачи с использованием симплекс-метода, применяя программный комплекс "Линейная оптимизация".

В результате решения задачи получим следующие значения целевой функции и переменных:

Z = 0,5771

V* = 1/0,5771 = 1,7328

x1 = 0,5144; x2 = 0; x3 = 0,0626

y1 = 0,0582; y3 = 0,5189

4. Для определения значений вероятностей выбора стратегий игроков 1 и 2 умножим значения переменных на V*. P₁ = x1V* = 0,8914, p₂ =0, p₃ = x3V* = 0,1083: q₁ = y1V* = 0,1008, q₂ = 0, q₃ = y3V* = 0,8991.

5. Определим значение цены игры. Для этого из величины V* вычтем 1,5 (значение модуля наименьшего отрицательного элемента).

V = 1,7328 - 1,5 = 0,2328

Таким образом, в данной игре выиграет предприятие 1 (значение V > 0). Для достижения своей оптимальной стратегии (получения максимального математического ожидания гарантированного выигрыша) предприятие 1 должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,8914, а технологию 3 – с вероятностью 0,1083. Предприятие 2, соответственно, должно выбирать технологию 1 с вероятностью 0,1008, а технологию 3 – с вероятностью 0,8991. Значение математического ожидания выигрыша предприятия 1 составит 0,2328 тыс. д.е.

2.3 Исследование операций

Скажем несколько слов об основных методологических принципах Исследования операций:

• Системный подход. Его суть состоит в систематическом поиске существенных взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части организации

• Комплексный научный коллектив. Необходимость привлечения к решению практических задач разных специалистов связана с требованием всестороннего подхода к проблеме

• Научный метод. Так как эксперимент в узком смысле этого слова невозможен, нужно заменить реальную действительность её научной моделью. Поэтому решение задач исследования операций при научном подходе сводится на практике к решению уравнений или систем уравнений при условии выполнения различных заданных критериев.

Назовём теперь основные этапы исследования операций:

• Содержательная постановка задачи

• Построение математической модели

• Решение задачи на модели

• Проверка адекватности модели

• Построение конкурирующего алгоритма

• Реализация решения

Несмотря на различное содержание задач, их физическую суть, математические постановки этих задач имеют много общего. В каждой из них требуется максимизировать или минимизировать некоторую линейную функцию нескольких переменных, ограничения, положенные на совокупность этих переменных являются либо линейными уравнениями, либо линейными неравенствами. Поэтому далее рассмотрим только математическую постановку задачи линейного программирования. К настоящему времени в литературе выделяют следующую классификацию ЗЛП (общая задача линейного программирования; каноническая целевая функция задачи линейного программирования; основная задача линейного программирования; основная задача линейного программирования с ограничениями – неравенствами) и их решений (допустимое решение; допустимое базисное решение; оптимальное решение).

Общая задача линейного программирования заключается в отыскании вектора (х₁, х₂,..., х_n) максимизирующего (минимизирующего) критерий оптимальности (функцию цели задачи)