85706 (Корни многочленов от одной переменной), страница 2

Из этой системы следует, что p = 0, q = k, r = m, а значит, f (x) = g (x).

Таким образом, для рассмотренного примера ответ на поставленный вопрос положителен. Оказывается, это справедливо и в общем случае, после ознакомления с некоторыми другими понятиями и утверждениями теории многочленов.

Операции над многочленами

Многочлены можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов. При этом в результате снова получается многочлен. Указанные операции обладают известными свойствами:

f (x) +g (x) =g (x) +f (x),

f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x),

f (x) g (x) =g (x) f (x),

f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g (x)) h (x),

f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Установим еще несколько полезных свойств операций над многочленами.

Пусть даны два многочлена f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀, a_n≠0, и g (x) =b_mx^m+b_m-1x^m-1+... +b₁x+b_m≠0. Ясно, что ст. f (x) =n, а ст. g (x) =m. Нетрудно заметить, что если перемножить эти два многочлена, получится многочлен вида f (x) g (x) =a_nb_mx^m+n+... +a₀b₀. Так как a_n≠0 и b_n≠0, то a_nb_m≠0, а значит, ст. (f (x) g (x)) =m+n. Отсюда следует важное утверждение.

Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, или, короче, ст. (f (x) g (x)) =ст. f (x) +ст. g (x).

Легко доказать, что аналогичное утверждение имеет место для любого конечного числа ненулевых сомножителей, т.е. что ст. (f₁ (x) f₂ (x)... f_s (x)) = ст. f₁ (x) +ст. f₂ (x) +... +ст. f_s (x).

Из рассуждений, приведенных выше для степени произведения двух многочленов, следует два полезных утверждения, которые легко распространяются на любое конечное число сомножителей.

Старший член (коэффициент) произведения двух ненулевых многочленов равен произведению старших членов (коэффициентов) сомножителей.

Свободный член произведения двух многочленов равен произведению свободных членов сомножителей.

Степени многочленов f (x), g (x) и f (x) ±g (x) связаны следующим соотношением: ст. (f (x) ±g (x)) ≤ max ст. f (x), ст. g (x) .

Напомним, что многочлен - выражение вид a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … + +a₁x+a₀.

Будут ли многочленами выражения: 2x²+4+3x³; (x²-1) (2x+5); (x²+1) (x-3) + 2x?

Попробуем разобраться в этом.

Первое выражение можно рассматривать как сумму многочленов f₁ (x) =2x², f₂ (x) +4, f_a (x) +3x³. Но, как известно, сумма многочленов - это тоже многочлен. Значит, первое выражение можно считать неудачно записанным многочленом. Воспользовавшись тем, что при сложении многочленов слагаемые можно переставлять местами, получим 2x²+4+3x³ = f₁ (x) +f₂ (x) + f₃ (x) =f₃ (x) +f₁ (x) +f₂ (x) =3x³+2x²+4.

Аналогично второе выражение - это произведение многочленов g₁ (x) =x²-1 и g₂ (x) =2x+5, а значит, тоже многочлен. Легко убедиться, что и третье выражение также является многочленом.

Теперь познакомимся с еще одной операцией над многочленами - суперпозицией.

Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x).

Например, если f (x) =x²+2x-1 и g (x) =2x+3, то f (g (x)) =f (2x + 3) = (2x+ 3) ²+2 (2x+3) - 1=4x²+16x+14,g (f (x)) =g (x²+2x-1) =2 (x²+2x - 1) +3=2x²+4x+1.

Видно, что f (g (x)) ≠g (f (x)), т.е. суперпозиция многочленов f (x), g (x) и суперпозиция многочленов g (x), f (x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.

Схема Горнера

Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в виде f (x) =g (x) s (x) +r (x), где s (x) и r (x) -многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) < ст. g (x). S (x) назовем неполным частным, а r (x) - остатком при делении f (x) на g (x).

Неполное частное при делении можно найти с помощью простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток.

Пусть f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a_0, a_n≠0 - многочлен n-й степени. При делении его на x - c мы получим неполное частное s (x) и остаток r, т.е. f (x) = (x - c) s (x) + r. Так как ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1, то

ст. s (x) = n - 1, т.е. s (x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x+ b₀, b_n-1 ≠ 0. Таким обрзом, имеем равенство

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀ = (x - c) (b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀) +r.

Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим:

a= b_n-1,a_-1 = b_n-2 - cb_n-1,a_-2 = b_n-3 - cb_n-2,

a₂ = b₁ - cb_2,a₁ = b₀ - cb_1,a₀ = r - cb₀.

Напомним, что требуется найти неполное частное, т.е. его коэффициенты, и остаток.

Выразим их из полученных равенств:

b_n-1 = a_n,

b _n-2 = cb_n-1 + a_n-1,b _n-3 = cb_n-2 + a _n-2,

b₁ = cb₂ + a_2,b₀ = cb₁ +a_1,r = cb₀ + a_0.

Мы нашли формулы, по которым можно вычислять коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.

Таблица 1.

Коэффициенты f (x)

Коэффициенты s (x) остаток

В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c.

Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент b_n-1, который, как мы установили, равен a_n.

Коэффициент, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.

Разделим, например, многочлен f (x) =3x⁴-5x²+3x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера.

При заполнении первой строки этой схемы нельзя забывать о нулевых коэффициентах многочлена.

Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x).

Итак, выполняем деление по схеме Горнера:

Таблица 2.

Получим неполное частное s (x) =3x³+6x²+7x+17 и остаток r=33. заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33.

Разделим теперь тот же многочлен f (x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим:

Таблица 3.

В результате имеем f (x) = (x+2) (3x³-6x²+7x-11) +21.

Корни многочленов

Ранее мы установили что если с - корень многочлена f (x) делится на х-с. Сейчас обобщим это утверждение.

Пусть с₁, с₂, …, с_m - различные корни многочлена f (x). Тогда f (x) делится на х-с₁, т.е. f (x) = (x-c₁) s₁ (x). Положим в этом равенстве х=с₂. Получим f (c₂) = (c₂-c₁) s₁ (c₂) и, так f (c₂) =0, то (с₂-с₁) s₁ (c₂) =0. Но с₂≠с₁, т.е. с₂-с₁≠0, а значит, s₁ (c₂) =0. Таким образом, с₂ - корень многочлена s₁ (x). Отсюда следует, что s₁ (x) делится на х-с₂, т.е. s₁ (x) = (x-c₂) s₂ (x). Подставим полученное выражение для s₁ (x) в равенство f (x) = (x-c₁) s₁ (x). Имеем f (x) = (x-c₁) (x-c₂) s₂ (x). Положив в последнем равенстве х=с₃ с учетом того, что f (c₃) =0, с₃≠с1, с₃≠с₂, получим, что с₃ - корень многочлена s₂ (x). Значит, s₂ (x) = (x-c₃) s₃ (x), а тогда f (x) = (x-c₁) (x-c₂) (x-c₃) s₃ (x) и т.д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с₄, с₅, …, с_m, мы, наконец, получим f (x) = (x-c₁) (x-c₂) … (х-с_m) s_m (x), т.е. доказано формулируемое ниже утверждение.

Если с₁, с₂, …, с_m - различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f (x) = (x-c₁) (x-c₂)... (x-c_m) s_m (x).