Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа . Так как --- -разрешимая группа, то либо -группа, либо -группа. Если --- -группа, то . Согласно индукции, . Получили противоречие.

Пусть --- -группа. Так как , не делятся на , то . Так как --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , то . Рассмотрим подгруппу . Так как , --- -группа, , то нетрудно показать, что --- -группа. Так как , то --- -замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что --- -замкнутая группа. Отсюда следует, что --- -замкнутая группа. А это значит, что . Получим противоречие. Лемма доказана.

3. Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , содержащих любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число .

3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:

1) --- группа простого порядка , где ;

2) --- группа Шмидта;

3) , где , где --- максимальный внутренний локальный экран формации , --- простое число отличное от ;

4) , , , где --- -замкнутая группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации , --- простое число отличное от .

Доказательство. Пусть --- произвольная разрешимая минимальная не -группа. Если , то нетрудно показать, что --- группа простого порядка , причем .

Пусть . Покажем, что --- бипримарная -подгруппа. Действительно, если --- примарная группа, то из насыщенности формации следует, что . Противоречие. Пусть . Так как --- разрешимая группа, то нетрудно показать, что , где , индексы , не делятся на . Согласно условию, . Получили противоречие. Итак, .

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа . Если --- -группа, то . Рассмотрим случай, когда . Покажем, что в этом случае --- группа Шмидта. Вначале докажем, что --- циклическая группа. Действительно, в противном случае , где и --- максимальные подгруппы . Тогда . Так как , не делятся на , , то . Противоречие. Итак, --- циклическая группа, . Пусть . Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . И пусть --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, что подгруппы , принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда

Легко видеть, что .

Так как индексы и не делятся на , то . Но , и поэтому

Полученное противоречие показывает, что . Итак, доказали, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта. Следовательно, --- группа типа 2).

Пусть --- -группа и . Пусть . Тогда, согласно теореме 2.2.5, , где , , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как , то --- -группа. Пусть . Тогда рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Так как , то не делится на . Так как --- разрешимая группа, то . Но тогда в существует максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа , то . Нетрудно заметить, что не делится на и . Теперь, согласно условию, . Получили противоречие. Итак, доказали, что , то есть --- -замкнутая группа. Итак, -- группа типа 4).

Пусть теперь --- -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в найдется максимальная подгруппа такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как и --- собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что , не делятся на и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что --- -замкнутая, но тогда --- -замкнута. Тот факт, что ( --- максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак, --- группа типа 3). Лемма доказана.

3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть --- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа принадлежит одному из следующих типов:

1) --- группа простого порядка , где ;

2) --- группа Шмидта;

3) --- группа Шмидта;

4) , где и , где --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, --- простое число отличное от .

Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не -группа есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.

Пусть --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как --- насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что --- группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- группа Шмидта.

Пусть --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда

где . Покажем, что --- группа Шмидта. Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,

где .

Так как --- тотально насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что --- группа Шмидта. Лемма доказана.

3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная разрешимая формация Фиттинга, --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда содержит любую разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , когда есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:

1) класс всех разрешимых -замкнутых групп;

2) класс всех разрешимых групп с -длиной ;

3) класс всех разрешимых групп таких, что --- -группа, где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33] является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.

Пусть любая минимальная не -группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть любая минимальная не -группа является группой типа 1), 3). Тогда --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .

Пусть любая минимальная не -группа --- группа типа 1), 4). Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации .

Известно, что

Покажем, что для любого простого числа из , отличного от , . Предположим противное. Пусть --- группа наименьшего порядка из . Так как --- наследственная формация, то . Так как --- тотально насыщенная формация, то --- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем . Так как --- полный экран, то . А значит, --- -группа, где .

Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов. Пусть . Покажем, что . Так как точен, то . Так как , то очевидно, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Если , то . Отсюда следует, что . А значит, . Пусть . Тогда , где --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как , то . Так как , то из полноты экрана следует, что . Так как --- внутренний экран, то . Итак, . Последнее противоречит тому, что --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.

Итак, для любого из . Тогда

Отсюда нетрудно заметить, что

Рассмотрим насыщенную формацию . Так как любая минимальная не -группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, то --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,

где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Следовательно,

Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что . Итак, --- формация из пункта 3).

Нетрудно показать, что формация , у которой любая минимальная не -группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.

Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.

Заключение

В главе 1 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 1.4 , и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .