Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»

Гомель 2006

Реферат

Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.

Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.

Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Содержание

Введение

Отражающая функция

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий

Общее решение

Заключение

Список использованных источников

Введение

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так:

Пусть первый интеграл системы , (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , , (2). И если, кроме того , где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(1)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1. для любого решения системы (1) верно тождество

1. для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V R, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x(t)) t .

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:G R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U (t справедливое при всех значениях t и x(t ). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство

и

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой

будем рассматривать множество возмущённых систем

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

Если вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

,

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество

Лемма 2.

Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция

удовлетворяет тождеству

Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению

Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущённая дифференциальная система

,

где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

Для этого введём функцию по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция является решением задачи Коши

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему

в которой непрерывные и периодические функции , таковы, что и – нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь и , ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

, (1)

, , , (2)

где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечётная функция, то и