85583 (Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом), страница 2

при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть – отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы )+ (равно по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5. Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

(6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:

(7)

Так как - первый интеграл системы (1), то

(8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную в силу системы (2)

и

обозначим её (*).

Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2.

Лемма

Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы , тогда U , , и .

Доказательство. Возьмём произвольное решение системы . Покажем, что на нём U обращается в постоянную.

Действительно, т. к. отражающая функция, то . По определению функции и т. к. первый интеграл системы , то U .

То, что U очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим по свойству отражающей функции .

Обозначим , так как только функциям из сопоставляет функции из , то и по определению первого интеграла U отлична от и обращается в только вдоль решений системы . А это и означает, что U – первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.

Заключение

В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.

Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

Список использованных источников

1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.

2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.

3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.