Министерство Образования Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Хабаровский Государственный Педагогический Университет

Кафедра математического анализа и информатики

Курсовая работа

“Геометрия чисел”

Выполнил: =PeppeR=

Научный руководитель: доцент кафедры

мат. анализа и информатики

кандидат физ.-мат. наук

Хабаровск – 2004

Содержание.

1. Введение. 2

2. Постановка задачи. 3

3. Основная задача геометрии чисел. 4

4. Теорема Минковского. 6

5. Доказательство теоремы Минковского. 7

6. Решётки. 10

7. Критические решётки. 13

8. «Неоднородная задача». 17

9. Список литературы. 18

Введение.

Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.

Постановка задачи.

Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.

Основная задача геометрии чисел.

Основной и типичной задачей геометрии чисел является сле­дующая задача.

Пусть f(х₁,…,x_n) — функция вещественных аргументов, прини­мающая вещественные значения. Как мал может быть f(u₁,…,u_n) при подходящем выборе целых чисел u₁,…,u_n? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х₁,…,x_n) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u₁ = u₂ = ... = u_n = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”).

Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для кон­кретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть

f(x₁,x₂) = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x2 + a₂₂x₂² (1)

- положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u₁,u₂, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство

f(u₁,u₂) (4D/3)^1/2 (2)

где D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно,

u₁² + u₁u₂ + u₂² 1

для всех пар целых чисел u₁,u₂, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4.

Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений.

Только что сформулированный результат можно выразить на­глядно. Неравенство типа

f(x₁,x₂) k,

где f(x₁,x₂) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область плоскости {x₁,x₂}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k (4D/3)^1/2, то область содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами u₁ и u₂, не равными одновременно нулю.

Теорема Минковского.

Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область всегда содержит точку (u₁,u₂) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям:

1. область симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x₁,x₂) находится в , то точка (-x₁,-x₂) также содержится в ;

2. область выпукла; т. е. если (x₁,x₂), (y₁,y₂) — две какие-нибудь точки области , то и весь отрезок

{x₁ + (1-)y₁, x₂ + (1-)y₂}, 0 1,

соединяющий эти точки, также содержится в ;

3) площадь больше 4.

Любой эллипс f(x₁,x₂) k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна

k / (a₁₁a₂₂ – a₁₂)^1/2 = k / D^1/2,

то он удовлетворяет условию 3), если k > 4D^1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)^1/2 заменить любым числом, большим 4/.

Доказательство теоремы Минковского.

Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.

Вместо области Минковский рассматривает область = /2, которая состоит из точек (x₁/2,x₂/2), где (x₁,x₂) точки области . Таким образом, область симметрична относительно начала координат и выпукла, её площадь равна четверти площади области и, следовательно, больше 1. В общем случае Минковский рассматривает совокупность областей (u₁,u₂) с центрами в целочисленных точках (u₁,u₂), полученных из тела параллельными переносами.

Для начала справедливо отметить, что если и (u₁,u₂) пересекаются, то точка (u₁,u₂) находится в . Обратное утверждение тривиально. Если точка (u₁,u₂) находится в , то точка (u₁/2,u₂/2) содержится как в , так и в (u₁,u₂). Действительно, пусть (ξ₁, ξ₂) – точка, лежащая в пересечении. Так как точка (ξ₁, ξ₂) лежит в области (u₁,u₂), то тогда точка (ξ₁ – u₁, ξ₂ – u₂) лежит в области ; следовательно, ввиду симметрии области точка (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) находится в . Наконец, в силу выпуклости тела середина отрезка, соединяющего точку (u₁ - ξ₁, u₂ - ξ₂) с точкой (ξ₁, ξ₂), то есть точка (u₁/2,u₂/2), лежит в , а потому точка (u₁,u₂) находится в . Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область (u₁,u₂) тогда и только тогда пересекается с областью (u₁^’,u₂^’), когда область пересекается с об­ластью (u₁ - u₁^’, u₂ - u₂^’).

Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области (u₁,u₂) не пересекаются, то площадь области (u₁,u₂) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область целиком содержится в квадрате

x₁≤ X, |x₂| ≤ X,

при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена.

Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)² областей (u₁,u₂), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам

u₁≤ U, |u₂| ≤ U.

Все эти области целиком находятся в квадрате

x₁≤ U + X, |x₂| ≤ U + X,

площадь которого равна

4 (U + X)².

Так как предполагается, что области (u₁,u₂) не пересекаются, то имеет место неравенство

(2U + 1)²V 4(U + X)²,

где V – площадь области , а значит, и любой области (u₁,u₂). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V 1, что и требовалось доказать.

Решётки.

Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x₁,x₂) как сумму квадратов двух линейных форм

f(x₁, x₂) = Х₁² + Х₂², (3)

где

Х₁ = x₁ + x₂, X₂ = x₁ + x₂, (4)

,,, - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить

= a₁₁^1/2, = a₁₁^-1/2a₁₂,

= 0, = a₁₁^-1/2D^1/2.

Обратно, если ,,, - такие вещественные числа, что - 0, и формы Х₁, Х₂ заданы равенствами (4), то выражение

Х₁² + Х₂² = a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂²,

г де

a₁₁ = ² + ²,

a₁₂ = + , (5)

a₂₂ = ² + ²,

является положительно определен­ной квадратичной формой с определителем

D = a₁₁a₂₂ – a₁₂² = ( - )². (6)

Теперь будем рассматривать пару (Х₁, Х₂) как систему пря­моугольных декартовых координат. Тогда говорят, что точки (Х₁, Х₂), соответствующие целым (x₁, x₂) в выражениях (4), образуют (двумерную) решетку . В векторных обозначениях решетка есть совокупность точек

(Х₁, Х₂) = u₁(,) + u₂(,), (7)

г де u₁, u₂ пробегают все целые числа; точки (векторы) (,) и (,) образуют базис решётки .

Рассмотрим теперь более подробно свойства решеток. Ввиду того, что мы рассматриваем решетку просто как множество точек, мы можем её описать с помощью различных базисов. Например, пара

(α – β, γ – δ), (- β, - δ)

является другим базисом решётки . Фиксированный базис (α, β), (γ, δ) решётки определяет разбиение плоскости двумя семействами равноудалённых параллельных прямых; первое семейство состоит из тех точек (Х₁, Х₂), которые имеют координаты вида (7), где u₂ – любое целое число, а u₁ – любое вещественное. Для линий второго порядка семейства u₁ и u₂ меняются ролями. Таким образом, плоскость разбивается на параллелограммы, вершинами которых являются как раз точки решётки .

Разумеется, что это разбиение зависит от выбора базиса. Однако, можно показать, что площадь получаемых параллелограммов, именно число

|αδ – βγ|,

не зависит от выбора базиса. Это становится возможным, если показать, что число N(X) точек решётки в достаточно большом квадрате

ζ (Х): |Х₁| ≤ Х, |Х₂| ≤ Х

удовлетворяет соотношению