85009 (Численные методы), страница 4

Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость, и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени ( кубический сплайн).

Пусть на задана непрерывная функция . Введем узлы ( сетку):

и обозначим

Интерполяционным кубическим сплайном, соответствующим данной функции и данным узлам, называеться функция , удовлетворяющая следующим усовиям:

а) на кождом сегменте функция является многочленом третьей степени;

б) функция , а так же ее первая и вторая производные непрерывны на ;

в)

Последнее условие называется условием интерполирования.

Докажем существование и единственность сплайна, определяемого перечисленными условиями (плюс некоторые граничные условия, которые будут введены в процессе доказательства). Приводимое ниже доказательство содержит также способ построения сплайна.

На каждом из отрезков будем искать функцию в виде многочлена третьей степени

(1)

где - коэффициенты, подлежащие определению. Выясним смысл введенных коэффициентов. Имеем

поэтому

Из условий интерполирования получаем, что

Доопределим , кроме того , .

Далее , требование непрерывности функции приводит к условиям

Отсюда,учитывая выражения для функций получаем при уравнения

Обозначая перепишем эти уравнения в виде

(2)

Условия непрерывности первой производной

приводят к уравнениям

(3)

Из условий непрерывности второй производной получаем уравнения

. (4)

Объединяя (2) -(4) , получим систему уравнений относительно неизвестных

Два недостающих условия получают, задавая те или иные граничные условия для Предположим, например, что функция удовлетворяет условиям Тогда естественно требовать, чтобы Отсюда получаем

т.е.

Заметим, что условие совпадает с уравнением (4) при . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:

Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5)- (7) переменные и получим систему, содержащую только Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7) :

и вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим

Подставляя найденное выражение для в правую часть уравнения (6), получим

(8)

Далее, из уравнения (5) получаем

И подставляя эти выражения в (8) , приходим к уравнению

Окончательно для определения коэффициентов получаем систему уравнений

(9)

В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, решение можно найти методом прогонки. По найденным коэффициентам коэффициенты і определяются с помощь явных формул

(10)

Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями Заметим , что можно рассматривать и другие граничные условия.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

Рассмотрим некотрые широко используемые приемы приближенного вычисления определенных интегралов.

Квадратурные формулы.

Введем понятие квадратурные формулы. Пусть дан определенный интеграл

(1)

от непрерывной на отрезке функции . Приближенное неравенство

(2)

где - некоторые числа, - некотрые точки отрезка , называется квадратурной формулой, определяемой весами и узлами .

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени , если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени приближенное равенство (2) становится точным.

Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы.

Формула прямоугольников. Допустим, что . Положим приближенно

(3)

где , т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , аппроксимируется площадью прямоугольника, высота которого равна значению в средней точке основания трапеции .

Найдем остаточный член , т.е. погрешность формулы (3) .

Пусть

(4)

Так как

то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем

(5)

где -некоторые точки ,

Функция является первообразной для Поэтому для интеграла, стоящего в левой части приближенного равенства (3), из формулы Ньтона - Лейбница с расчетом (5) вытекает следующее соотношеие

Отсюда с помощью ранее доказанной леммы получаем формулу прямоугольников с остаточным членом :

(6)

Формула трапеций. Пусть Полагаем

(7)

где т.е. интеграл приближенно заменяется площадью заштрихованной трапеции, показанной на рисунке.

Найдем остаточный член, т.е. погрешность формулы (7). Выразим і где - функция (4), по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме :

(8)

(9)

Согласно (8) имеем

(10)

Отделив в правой части (9) слагаемое и заменив его выражением (10), с учетом того, что находим

Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя обобщенную теорему о среднем.

* Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть причем на Тогда существует такая точка что

Доказательство. Положим

(11)

Тогд, так как то

и, следовательно,

Если то и в качестве можн взять любую точку из

Если то вытекает существование такого числа с, удовлетворяющего неравенствам ( для этого делим все части на ):

(12)

что

(13)

По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11) , (12) найдется точка , в которой что вместе с равенством (13) доказывает теорему .

Теперь, так как то по доказанной теоремою

где - некоторая точка . Подставляя полученное в , приходим к формуле трапеций с остаточным членом :

(14)

Формула Симпсона . Предположим, что Интеграл приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки де

Указанная парабола задается уравнением

в чем нетрудно убедиться, положив поочередно (ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)

Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид

(15)

Положим где -функция (4). Поскольку

то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем

Отсюда получаем

(16)

т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.

Поскольку то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим

(17)

где нектрые точки.

Принимая во внимание, что из (16), (17) приходим к формуле

(18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.

Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.

Усложненные квадратурные формулы.

На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок на равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке называется усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за , а при использовании формулы Симпсона - за .

Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть Обозначим частичные отрезки через

где

В соответствии с (3) полагаем

(19)

где значение в середине частичного отрезка . При этом справедливо аналогичное (6) равенство

(20) где некоторая точка.

Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:

(21)

а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме

где -некоторая точка отрезка , дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом:

(22) Совершенно àíàëîãè÷íî при услвии, что с использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула трапеций

(23)