84938 (Построение экономической модели с использованием симплекс-метода)

Построение экономической модели с использованием симплекс-метода.

Курсовая работа

Моделирование как метод научного познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний : техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты ( или проблемы, относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, бусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Словесное описание

Фирма, производящая некоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение. Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $, а стоимость телерекламы в 100$ за минуту.

Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц. Так же известно, что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайней мере в 2 раза чаще, чем по телевидению.

Опыт предыдущих лет показал, что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежели радиореклама.

Задача заключается в правильном распределении финансовых средств фирмы.

Математическое описание.

X1 время потраченное на радиорекламу.

X2 время потраченное на телерекламу.

Z искомая целевая функция, оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов рекламы.

X1=>0, X2=>0, Z=>0 ;

Max Z = X1 + 25X2 ;

5X1 + 100X2 <=1000 ;

X1 -2X2 => 0

Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. В данной главе рассматривается общий метод решения задач ЛП, называемый симплекс-методом.

Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность.

Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, требуют применения вычислительных машин мощного средства решения задач линейного программирования.

Симлекс-метод это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. В данной главе рассматриваются итерационные процедуры такого рода, обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций.

В гл 2 было показано, что правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками . Кроме того, переменные, фигурирующие в задачах ЛП, могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке. Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме, которую назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей. При стандартной форме линейной модели

Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью ;

Значения всех переменных модели неотрицательны ;

Целевая функция подлежит максимизации или минимизации.

Покажем, каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной.

Ограничения

Исходное ограничение, записанное в виде неравенства типа ),

можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ).

Например, в левую часть исходного ограничения

5X1 + 100X2 <= 1000

вводистя остаточная переменная S1 > 0, в результате чего исходное неравенство обращается в равенство

5X1 + 100X2 + S1 = 1000, S1 => 0

Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса, переменную S1 следует интерпретировать как остаток, или неиспользованную часть, данного ресурса.

Рассмотрим исходное ограничение другого типа :

X1 2X2 => 0

Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой, для обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части избыточную переменную S2 > 0. В результате получим

X1 2X2 S2 = 0, S2 => 0

Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной, умножая оби части на -1.

Например равенство X1 2X2 S2 = 0 эквивалентно равенству X1 + 2X2 + S2 = 0

Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих частей на -1.

Например можно вместо 2 4, неравенство X1 2X2 0

Переменные

Любую переменную Yi, не имеющую ограничение в знаке, можно представить как разность двух неотрицательных переменных :

Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.

Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях, которые содержат исходную переменную Yi, а также в выражении для целевой функции.

Обычно находят решение задачи ЛП, в котором фигурируют переменные Yi’ и Yi’’, а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Yi. Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том, что при любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение, т.е. если Yi’>0, то Yi’’=0, и наоборот. Это позволяет рассматривать Yi’ как остаточную переменную, а Yi’’ как избыточную переменную, причем лишь одна из этих переменных может принимать положительное значение. Указанная закономерность широко используется в целевом программировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30

Целевая функция

Целевая функция линейной оптимизационной модели, представлена в стандартной форме, может подлежать как максимизации, так и минимизации. В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию.

Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот. Например максимизация функции

Z = X1 + 25X2

эквивалентна минимизации функции

( -Z ) = -X1 25X2

Эквивалентность означает, что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X1, X2, в обоих случаях будут одинаковы. Отличие заключается только в том, что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки будут противоположны.

Симплекс-метод.

В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению.

Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели, посроенной для нашей задачи. Пространство решений этой задачи представим на рис. 1. Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ). Решение, соответствующее этой точке, обычно называют начальным решением. От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке.

Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами.

Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей. Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства решений.

Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться.

Таким образом, отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки, и все переходы осуществляются только к смежным точкам, причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность.

Определим пространство решений и угловые точки агебраически. Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических и алгебраических определений.

Представление пространства решений стандартной задачи линейного программирования.

Линейная модель, построенная для нашей задачи и приведенная к стандартной форме, имеет следующий вид :

Максимизировать

Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2

При ограничениях

5X1 + 100X2 + S1 = 1000

X1 + 2X2 + S2 = 0

X1=>0, X2=>0, S1=>0, S2=>0

Каждую точку пространства решений данной задачи, представленную на рис.1, можно определить с помощью переменных X1, X2, S1 и S2, фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0 ограничения модели эквивалентны равенствам, которые представляются соответствующими ребрами пространства решений. Увеличение переменных S1 и S2 будет соответствовать смещению допустимых точек с границ пространства решений в его внутреннюю область. Переменные X1, X2, S1 и S2, ассоциированные с экстремальными точками А, В, и С можно упорядочить, исходя из того, какое значение ( нулевое или ненулевое ) имеет данная переменная в экстремальной точке.

Анализируя таблицу, легко заметить две закономерности:

1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре неизвестных, поэтому в каждой из экстремальных точек две ( = 4 2 ) переменные должны иметь нулевые значения.

2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной переменной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ),

Первая закономерность свидетельствует о возможности определения экстремальных точек алгебраическим способом путем приравнивания нулю такого количества переменных, которое равно разности между количеством неизвестных и числом уравнений. В этом состоит сущность свойства однозначности экстремальных точек. На рис. 1 каждой неэкстремальной точке соответствует не более одной нулевой переменной. Так, любая точка внутренней области пространства решений вообще не имеет ни одной нулевой переменной, а любая неэкстремальная точка, лежащая на границе, всегда имеет лишь одну нулевую переменную.

Свойство однозначности экстремальных точек позволяет определить их алгебраическим методом. Будем считать, что линейная модель стандартной формы содержит т уравнений и п ( т <= п ) неизвестных ( правые части ограничений — неотрицательные ). Тогда все допустимые экстремальные точки определяются как все однозначные неотрицательные решения системы m уравнений, в которых п — m переменных равны нулю.

Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем приравнивания к нулю ( п — т ) переменных, называются базисными решениями. Если базисное решение удовлетворяет требованию неотрицательности правых частей, оно называется допустимым базисным решением. Переменные, имеющие нулевое значение, называются небазисными переменными, остальные — базисными переменными.

Из вышеизложенного следует, что при реализации симплексметода алгебраическое определение базисных решений соответствует идентификации экстремальных точек, осуществляемой при геометрическом представлении пространства решений. Таким образом, максимальное число итераций при использовании симплексметода равно максимальному числу базисных решений задачи ЛП, представленной в стандартной форме. Это означает, что количество итерационных процедур симплекс-метода не превышает

Cпт= n! / [ ( n m )!m! ]

Вторая из ранее отмеченных закономерностей оказывается весьма полезной для построения вычислительных процедур симплекс-метода, при реализации которого осуществляется последовательный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с ней. Так как смежные экстремальные точки отличаются только одной переменной, можно определить каждую последующую ( смежную) экстремальную точку путем замены одной из текущих небазисных ( нулевых ) переменных текущей базисной переменной. В нашем случае получено решение, соответствующее точке А, откуда следует осуществить переход в точку В. Для этого нужно увеличивать небазисную переменную X2 от исходного нулевого значения до значения, соответствующего точке В ( см. рис. 1 ). В точке B переменная S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматически обращается в нуль и, следовательно, становится небазисной переменной. Таким образом, между множеством небазисных и множеством базисных переменных происходит взаимообмен переменными X2 и S1. Этот процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.

Применяя аналогичную процедуру ко всем экстремальным точкам рис. 1, можно убедиться в том, что любую последующую экстремальную точку всегда можно определить путем взаимной замены по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных ( предыдущей смежной точки ). Этот фактор существенно упрощает реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.