6041-1 (Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), страница 2

Т=218 ^оС, следовательно, 0,218 ^оС.

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

Использование теоретической оценки погрешности

Д ля обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:

, где M_[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e^-bt3

У читывая формулу (3.4) получаем:

(3.5)

Д ифференцируя f(t), получим:

А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t₁, t=t₂, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10^-4

f’’(t2)=-1.6627 10^-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10^-6

Итак: M_1,5886 10^-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.

Д алее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления :

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

П ри расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

, откуда:

Нахождение М₄ можно провести аналогично нахождению М₂ в предыдущем пункте, но выражение для f^IV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.

Обозначим через I_n и I_2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I_2n-I_n| = 15 , то |I-I_2n|=

Б удем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

(3.6)

С огласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

4. Вычисление времени Т₀ установления режима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

т.е. с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью не превышающей ^

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

f ”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня по методу касательных:

п о методу хорд:

В ычисление ведём до того момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Т₀ = 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = (x). Для этого умножим обе части на произвольное число , неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - f(x)

 xx - A x sin(x) + cosx)

В качестве возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на [a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда 0,045.

П риближение к корню ищем по следующей схеме:

В ычисление ведём до тех пор, пока не выполнится условие:

(q = max |’(x)| на [a’b])

’(x) на [a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов.

’(0,05) = 0,3322 ’(0,1) = -0,3322, следовательно, q = 0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность:

Итак, с погрешностью, меньшей 10^-4, имеем:

Т0 = 72,7176 с. , 0.03142

5. Решение краевой задачи

И спользуем метод малого параметра. Краевую задачу запишем в виде:

(5.1)

В ведя новую переменную y = (U - __, запишем (5.1) в виде:

(5.2)

 __0.18L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём .

Тогда, подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях , получим:

(5.3)

О граничимся двумя первыми членами ряда:

И з (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y₀:

где y₀ с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y₍₁₎ и y₍₂₎ – линейно независимые решения однородного уравнения.

К орни уравнения:

y_0общ = 1 + c₁ch(px)+c₂sh(px), где p = 0.01953

К онстанты найдём из граничных условий:

откуда с₁ = 0, с₂ = -0,57; т.е. имеем функцию:

y₀ = 1 - 0.57 sh(px)

О бщее решение:

Ч астное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А₁ = 0; А₂ = -0,1083; В₁ = 0; В₂ = 17,1569;

Тогда общее решение для y₁ имеет вид:

с ₃ = 0; с₄ = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

 ____

И тоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значений функции U(x):

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

[см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которые практически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Методические указания «Методы приближённых вычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисления определённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

Методические указания «Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)