6041-1 (Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне)
Описание файла
Документ из архива "Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "6041-1"
Текст из документа "6041-1"
Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Курсовая работа по информатике
Исполнитель: Солнцев П.В.
Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)
Санкт-Петербург 2001
Введение
В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.
Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.
Постановка задачи
Физическая модель
В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура 0.
1.2 Математическая модель
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.
П ервая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
(1.1)
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui
Т ретья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:
(1.2)
где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.
И щем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:
(1.3)
на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.
Коэффициент теплопроводности зависит от температуры:
(1.4)
где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.
К оэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:
(1.5)
т .е. как среднее значение функции
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
В ремя Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:
(1.6)
г де а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:
(1.7)
Задание курсовой работы
Вариант № 136
Исходные данные:
L = 0.0386 м
D = 0,00386 м
оС
оС
141,85 (Вт/м*К)
2,703*10-4
6,789*10-7
3,383*102 (Вт/м2*К)
218 оС
А = 3,043*10-5 (м2/с)
11
X, м | U, oC |
0 | 353 |
0,00386 | 343 |
0,00772 | 313 |
0,01158 | 261 |
0,01544 | 184 |
0,01930 | 74 |
2. Обработка результатов эксперимента.
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
И щем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:
(2.1)
В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:
Где k = 0, 1, 2. (2,2)
И з уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
(2.3)
С умма
С истема (2.3) примет вид:
(2.4)
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:
М етодом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:
П одставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:
Smin=0.7597
При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.
П редполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:
Г де r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.
О ценка корреляционной матрицы имеет вид:
О ценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:
Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;
главный определитель нормальной системы.
В нашем случае:
S0=3.5438 10-22
S1=-8.9667 10-14
S2=6.3247 10-7
О ткуда:
Н айденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
И звестно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:
Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
В ыбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
Д оверительные интервалы для коэффициентов:
(2.4*)
В нашем случае примут вид:
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.
И меется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией Мы выбрали функцию регрессии в виде:
В ыясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:
(2.5)
C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:
Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
Н ормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
(2.7)
Р ешая эту систему методом Гаусса, получим:
(2.8)
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
Н 0 – альтернативная гипотеза
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.
В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:
(2.9)
имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*, удовлетворяющее равенству: p(F>F*=
В нашем случае F=349.02, а F*=10,13.
Е сли бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности .
Коэффициент вычислим по формуле (1.5), обозначим:
(3.1)
О пределим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления не превосходила 0,1%, т.е.:
(3.2)
Т .к. из (3.1) очевидно, что , то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:
(3.3)
Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём 0,001Т (3.4)