Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних

систем управління

Факультет АКСУ

Кафедра АІВТ

Курсова робота

з дисципліни

«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h= x_i=x_i+1-x_i), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

I_n= f(x)dx S_i=h[f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n-1)]= f(x_i);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

I_пр= f(x)dxh[f(x_n)+...+f(x₁)]= f(x_i)(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією (x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

S_i=h (f(x_i)+f(x_i+1)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I= S_i=h( f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+ f(x_N)= = [ (f(x₀)+f(x_n))+ f(x_i) ]. (1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М₂ –максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою (x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dx Si [1].

Г рафічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si= [f(xi)+4f( xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y₀+4y₁+y₂),

(y₂+4y₃+y₄),

(y₄+4y₅+y₆), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y_2n-2+4y_2n-1+y_2n),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y₀+y_2n+4(y₁+...+y_2n-1)+2(y₂+...+y_2n-2)],

або

[y₀+y_2n+4 y_2i-1+2 y_2i],(1.8)

де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М₄ –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:

y_iH_i,(1.9)

де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

c_if(x_i)_,(1.10)

в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:

2Cn[f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n)],(1.11)

де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:

(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ)=2(a₀+ a₂+ a₃+...).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:

f(x₁)=a₀+a₁x₁+a₂x₁²+a₃x₁³+...+a_nx₁ⁿ,

f(x₂)=a₀+a₁x₂+a₂x₂²+a₃x₂³+...+a_nx₂ⁿ,

f(x₃)=a₀+a₁x₃+a₂x₃²+a₃x₃³+...+a_nx₃ⁿ,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x_n)=a₀+a₁x_n+a₂x_n²+a₃x_n³+...+a_nx_nⁿ,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a₀+ a₂+ a₄+...)=2c_n[na₀+a₁(x₁+x₂+...+x_n)+a₂(x₁²+x₂²+...+x_n²)+

+a₃(x₁³+x₂³+...+x_n³)+...+a_n(x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_nⁿ)].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a₀,a₁,...,a_n; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

C_n= .(1.16)

і, крім цього,

x₁+x₂+x₃+...+x_n=0,

x₁²+x₂²+x₃²+...+x_n²= ,

x₁³+x₂³+x₃³+...+x_n³=0,(1.17)

x₁⁴+x₂⁴+x₃⁴+...+x_n⁴= ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x₁ⁿ+x₂ⁿ+x₃ⁿ+...+x_nⁿ= [1-(-1)ⁿ⁺¹],

Підставляючи знайдене для С_n виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n)],(1.18)

де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z₁)+f(z₂)+...+f(z_n)],(1.19)

де

Таблиця 1.2.

Z_i= + x_i, (i=1,2,...,n),(1.20)

а xi мають вкaзані в таблиці значення.