МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Вычислительные методы» на тему:

«Экспериментальное исследование свойств методов Рунге-Кутты»

Выполнила: студентка гр. А-31д

Воротилова Я.М.

Проверил: Мирянов В.И.

Севастополь

2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

2.1 Основная программа

2.2 Функция вычисления точного решения

2.3 Процедура вычисления правых частей системы уравнений в нормальной форме Коши

2.4 Процедура RK2

2.5 Процедура RK4

3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

3.1 Анализ влияния величины шага на точность интегрирования методами Рунге-Кутты второго и четвертого порядка

3.2 Проверка гипотезы Рунге

3.3 Исследование поведение ошибки интегрирования как функции независимой переменной для обоих методов Рунге-Кутты при различных значениях шага

3.4 Сравнительный анализ эффективности методов Рунге-Кутты при различных требованиях к точности вычисления

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая курсовая работа посвящена опытному исследованию свойств методов Рунге-Кутты и реализации на персональных компьютерах численных методов приближенного интегрирования ОДУ, наиболее часто применяющихся в практике моделирования и проектирования СА и У. Экспериментальные исследования проводятся с помощью составленных и отлаженных программ интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.

Задание предполагает:

1. закрепление теоретических навыков и знаний в вопросе о проблематике интегрирования ОДУ и численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутты, изучение их основных свойств (точность, эффективность, устойчивость) и основных характеристик данных свойств (локальная и глобальная алгоритмические ошибки, порядок метода, ошибка вычисления и т.п.) ;

2. приобретение основных навыков составления и отладки процедур и функций интегрирования на основе методов Рунге-Кутты и программ интегрирования систем дифференциальных уравнений с использованием все тех же процедур и функций;

3. проведение опытных исследований зависимости точности, эффективности и устойчивости алгоритмов интегрирования от величины шага интегрирования и порядка метода Рунге-Кутты на ЭВМ.

В различных сферах технических и даже экономических отраслей приходится достаточно часто сталкиваться с математическими задачами, для которых не представляется возможным описать точное решение классическими методами или сие решение выражено крайне неудобочитаемыми соотношениями, которые представляют из себя неприемлемую для мозга пищу, не говоря уже об использовании или реализации на практике.

Разрабатываемые вычислительной математикой численные методы носят в основном ориентировочный характер, однако они позволяют получить итоговый числовой результат со сносной для практических нужд точностью. Численные методы представляют собой алгоритмы вычисления приблизительных значений искомого решения на определенной сетке значений аргумента. При определенных условиях значения аргумента могут являться точными.

Численные методы не позволяют найти общее решение: полученное решение является частным. Но одним из многочисленных плюсов данных методов можно назвать высокую степень применимости к обширным классам уравнений и всем типам вопросов и заданий к ним. Посему с появлением электронных вычислительных машин численные методы стали одними из основных технологий решения определенных практических задач решения ОДУ.

Большую значимость имеет вопрос о верности вычислений на ЭВМ, поскольку при практической реализации имеет место обширный объем обрабатываемой подсчитываемой информации и погрешности могут достаточно сильно исковеркать конечный результат, принимаемый нами за действительный с «поправками на ветер». Кроме сказанного оценка точности численного метода немаловажна и потому, что увеличить точность в некоторых пределах можно за счет увеличения объемов вычислений, а уменьшить временные затраты при решении задачи - за счет снижения точности получаемого результата.

Для понижения погрешности методов интегрирования ОДУ, использующего разложения искомого решения в ряд Тейлора, необходимо принимать во внимание большее количество членов ряда. При всем при этом появляется потребность аппроксимации производных правых частей ОДУ. Ключевая идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции в точках на интервале , которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени , с коей учитываются члены ряда, построены всевозможные вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности.

Среди достоинств схем Рунге-Кутты не следует обходить во внимании:

1. удобоваримую точность;

2. одноступенчатость, то есть дабы найти , необходима информация лишь о предыдущей точке ;

3. координирование с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где степень неодинакова для различных методов и именуется порядком метода;

4. отсутствие необходимости вычисления производных от , причем накладывается требование вычисления всего-навсего самой функции.

Собственно благодаря вышеуказанному свойству c) методы Рунге-Кутты предпочтительней рядов Тейлора для реализации на практике. Тем не менее поводов для веселья мало, ибо перед нами стоит нелегкая задача неоднократного вычисления функции при неодинаковых значениях и для вычисления последующей точки решения. Это Богом дарованное наказание за преподнесенную нам численным методом поблажку, заключающуюся в отсутствии какой бы то ни было надобности вычисления иной раз весьма громоздких производных, но трудностей боятся кто угодно, только не мы.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Приведение к нормальной форме Коши

Нормальной формой Коши принято называть общую форму записи ОДУ, то есть представление в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

ДУ второго порядка, заданное согласно варианту №3 имеет вид:

(2)

Задание предполагает нахождение решения на интервале при следующих начальных условиях:

(3)

Для решения ДУ его просто необходимо представить согласно нормальной формы Коши. Для этого руководствуемся следующими обозначениями:

(4)

В итоге имеется система ДУ первого порядка вида:

(5)

Произведя все вышеописанные манипуляции над заданным в варианте уравнением, получим следующую систему:

(6)

Система (6) есть решение уравнения (2).

1.2 Метод Рунге-Кутты второго порядка

В методах Рунге-Кутты интеграл заменяется линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента:

(7)

Метод Рунге-Кутты представим в виде:

(8)

Из вышеуказанных общих формул (8) получают формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка m=2;

(9)

Для определения метода необходимо найти значения вещественных коэффициентов: . Для этого интеграл, заменяемый линейной комбинацией значений подынтегральной функции, вычисленных при разных значениях аргумента, можно представить как:

(10)

А его, в свою очередь, можно представить рядом Тейлора:

(11)

где - сумма элементов ряда Тейлора, степень которых не ниже 3.

Осталось найти неизвестные значения

(12)

В результате таких бесхитростных манипуляций получаем искомый ряд Тейлора:

(13)

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях

(11) и (13). В итоге получим систему уравнений вида:

(14)

Из свойств системы (14) следует отметить, что она не обладает единственным решением. При значение , значение , а (15)

Подставив полученные коэффициенты в соотношение (8), получаем следующие формулы метода Рунге-Кутты 2-ого порядка:

(16)

2 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНЫХ МОДУЛЕЙ

Составленная в ходе курсовой работы программа вычисляет решения дифференциального уравнения, с предварительно заданными начальными условиями. Интегрирование происходит согласно двум методам: Рунге-Кутты второго и четвертого порядков.

Программа состоит из следующих модулей:

1. Основная программа;

2. Процедура вычисления точного решения ДУ;

3. Процедура вычисления правых частей;

4. Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого порядка;

5. Процедура выполняющая шаг интегрирования методом Рунге-Кутты 4-ого порядка.

2.1 Основная программа

Блок программы осуществляет следующие операции:

• запрашивает у нерадивого пользователя величину шага интегрирования и шаг вывода на экран;

• вычисляет количество шагов;

• с заданным шагом вызывает процедуры интегрирования методом Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков на отрезке интегрирования;

• вычисляет погрешность и оценку погрешности интегрирования;

• выводит замечательные результаты работы программы с заданным шагом вывода на экран.

Для простоты понимания укажем следующие переменные, содержащиеся в программе:

• h - шаг интегрирования. Вводится нерадивым пользователем с клавиатуры;

• n – число шагов интегрирования;

• h_screen - шаг вывода результатов на экран. Вводится нерадивым пользователем с клавиатуры;

• i_screen – счётчик вывода результатов на экран. Когда i_screen > h_screen, то происходит вывод результатов и обнуление i_screen;

• i, j – переменные, используемые циклом;

• e2, e4– ошибки интегрирования для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(1):

(1)

• e2max, e4max – оценки погрешностей интегрирования для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядков соответственно. Подсчитываются из соотношения(2):

(2)

• t – значения независимой переменной;

• t0, tf – пределы интегрирования

• y2, y4 – вектора решения для методов Рунге-Кутты 2-ого и 4-ого порядка соответственно в узле t_k ;

• outfile– переменная файлового типа. Определена для вывода результатов в текстовой файл;

• name – переменная строкового типа. Используется для передачи имени файла.

Текст основной программы приведён в приложении А, схема в приложении Б.

2.2 Функция вычисления точного решения

function clearsolve (t: real): real

Функция предназначена для вычисления точного решения для дифференциального уравнения по формуле (3):

(3)

Текст функции приведен в приложении 2, схема в приложение 7.