Хвильові процеси.

Акустика.

1.Поширення коливань в однорідному пружному середовищі.

Якщо тіло, що коливається (камертон, струна, мембрана, і т. ін.), розташоване в пружному середовищі, то воно приводить в коливний рух частинки середовища, до яких воно дотикається. Внаслідок цього в елементах середовища, що прилягають до тіла, виникають періодичні деформації, а, отже це означає, що з’являються пружні сили, які намагаються повернути елементи середовища до початкових станів рівноваги. Завдяки взаємодії сусідніх елементів середовища пружні деформації будуть передаватись від одних ділянок середовища до інших, більш віддалених від тіла, що коливається.

Таким чином, періодичні деформації, викликані в якому-небудь місці пружного середовища, будуть поширюватись в середовищі з деякою швидкістю, що злежить від його фізичних властивостей. При цьому частинки середовища здійснюють коливний рух навколо положень рівноваги, від одних ділянок середовища до інших передається тільки стан деформації.

Процес поширення коливного руху в середовищі називається хвильовим процесом або просто хвилею.

В залежності від характеру деформації розрізняють хвилі поздовжні і поперечні. В поздовжніх хвилях частинки середовища коливаються вздовж лінії, що співпаде з напрямком поширення коливань. В поперечних хвилях частинки середовища коливаються перпендикулярно до напрямку поширення хвиль.

Поздовжні хвилі виникають в середовищі, що має об’ємну пружність, тобто в твердих, рідких і газоподібних тілах.

Поперечні хвилі виникають тільки в середовищі, що має пружність форми(яке зазнає деформації зсуву),тобто тільки в твердих тілах і на поверхні розділу рідких і газоподібних середовищ, що мають різну густину (наприклад, на поверхні води). В останньому випадку пружність форми забезпечується силами тяжіння і поверхневого натягу.

Нехай точкове джерело хвилі почало збуджувати коливання в момент часу t=0; через час це коливання пошириться в різних напрямках на відстань r_i=c_i,де c_i – швидкість хвилі в даном напрямку.

Поверхня, до якої доходить коливання в деякий момент часу, називається фронтом хвилі. Форма фронта хвилі визначається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. Середовище називають ізотропним, якщо швидкість поширення хвилі однакова в усіх напрямках, і анізотропним в противном разі.

Мал. 1.

На мал. 1 зображено фронт хвилі від точкового джерела в ізотропному середовищі; такі хвилі називаються сферичними.

При описанні хвильових процесів виділяють поверхні, в яких всі частинки коливаються в однаковій фазі;їх називають хвильовими або фазовими поверхнями.

Формою хвилі називають графік, що показує розподіл в середовищі величини, яка коливається, вздовж деякої вісі r в даній момент часу (моментальна фотографія хвилі) (див. мал. 2).

М ал. 2

На мал. 2 штрихованою лніею показана форма хвилі через деякий проміжок часу Δt.

Кажуть що середовище має дисперсію якщо синусоїдальні хвилі рівних частот поширюються в ньому зрізною швидкістю. В середовищі з дисперсією складні хвилі змінюють свою форму.

2. Рівняння плоскої гармонійної хвилі.

Позначимо величину, що коливається буквою x. Це може бути зміщення частинок середовища відносно положень рівноваги, відхилення тиску чи густини в даному місці середовища від рівноважного значення і т. д. Початкову фазу коливань в точці O виберемо рівною нулю; величина, що коливається, в т.O змінється за законом x=A cos t,де A-амплітуда, = - циклічна частота,

T-період коливань.

Будемо вважати, що хвильовий процес поширюється в напрямку вісі or.Знайдемо фазу коливань в довільній точці M, що розташована на відстані r від т.O(див. мал. 3). В даний момент часу t в т.M фаза коливань така ж, якою вона була в т. O сек. тому назад, тобто в момент часу (t- ). Отже, значення величини, що коливається, в т.M в момент часу tдорівнює:

x=Acos(t- ) (14.2)

Рівняння (14.2) називають рівнянням плоскої гармонічної хвилі; с називається її фазовою швидкістю.

Мал..3

Перетворимо (14.2) x=Acos(t- ). Відношення називаються хвильовим числом ;відстань на яку поширюється хвиля за час, рівний періоду коливань частинок середовища, називають довжиною хвилі :

=cT

На графіку хвилі довжина хвилі - це відстань між двома найближчими точками хвилі, що коливаються в однаковій фазі. З використанням хвильового числа k рівняння плоскої хвилі набуде виду: x=Acos(t-kr) (14.3)

Рівняння хвилі, що поширюється в сторону зменшення r, відрізняються від(14.2)та(14.3) лише знаком перед (чи kr).

Рівняння хвилі є розв’язком диференціального рівняння, яке називають хвильовим. Знайдемо другі частинні похідні по часу t і по координаті r від функції(14.3):

зпівставивши ці похідні, одержимо:

Оскільки , то ; отже:

(14.4).

(14.4) і називають хвильовим рівнянням. На закінчення підкреслимо, що на графіку хвилі вказано положення різних точок середовища в один і той же момент часу, а на графіку гармонічного коливного руху зображено положення однієї і тієї ж точки, що коливається, в різні моменти часу.

3.Енергія хвилі. Вектор Умова

Процес поширення хвилі в якому-небудь напрямі в середовищі супроводжується переносом енергії коливань в цьому напрямі.

Розглянемо плоску хвилю. Нехай S- це частина її фронту в момент часу t. Через сек. фронт переміститься на відстань , наслідок чого частинки в об’ємі приводяться в коливальний рух

S

X

Мал. 4

Позначимо через w енергію коливань частинок одиниці об’єму середовища;припустимо, що об’єм дуже малий і тому в межах енергія w скрізь однакова. Можна стверджувати, що за час середовище в об’ємі через майданчик S одержало енергію w . Таким чином, за одиницю часу через майданчик S пройшла енергія

(14.5)

P
–це потік енергії хвилі (за одиницю часу) через майданчик S(орієнтований перпендикулярно с )

Густиною потоку енергії називають енергію, що проходить за одиницю часу через одиницю площі майданчика, перпендикулярного до напрямку поширення хвилі:

(14.6)

О
скільки с -вектор, то

I=wc (14.7)

Густина потоку енергії-це векторна велична;її називають вектором Умова

Одиниці вимірювання:

[P]=Вт; [I]= ;[w]=

Для сферичної хвилі і густина потоку енергії буде обернено пропорційною квадрату відстані від джерела

Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

Якщо в деякому однорідному та ізотропному середовищі два точкові джерела збуджують сферичні хвилі, то в довільній т. M простору відбувається накладання хвиль у відповідності з принципом суперпозиції :кожна точка середовища, до якої приходять дві або декілька хвиль, бере участь в коливаннях, викликаних кожною хвилею зокрема; хвилі не взаємодіють одна з одною і поширюються незалежно одна від одної .результат додавання коливань залежить від співвідношення фаз, періодів та амплітуд хвиль, які зустрілися.

Хвилі і джерела, що їх збуджують, називаються когерентними, якщо різниця фаз хвиль _1-2 не залежить від часу. Дві синусоїдальні хвилі когерентні якщо їх частоти однакові (₁₌₂ ).

Інтерференцією називають явище накладання когерентних хвиль, внаслідок якого має місце їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших. Результат інтерференції залежить від

різниці фаз хвиль, що накладаються.

M

S1 r2

r1

s2

мал.5

Нехай в т.M накладаються дві хвилі від джерела s1 і від джерела s2 .рівняння руху точки М відповідно для джерел s1 і s2 мають вид:

Різниця фаз дорівнює:

називають різницею ходу хвиль. Якщо різниця ходу хвиль (n=0, 1, 2,…),то , і в т.М спостерігається підсилення коливань (максимум амплітуди результуючого коливання). Якщо , то , і в т.М буде спостерігатись ослаблення коливань ( мінімум амплітуди результуючого коливання). При A₁=A₂ коливання повністю загасять одне одне.

Отже, умова максимума :

(14,8)

мінімума :

(14,9)

Окремим випадом інтерференції хвиль є стоячі хвилі. Стояча хвиля утворюється в результаті накладання двох хвиль, що поширюються у взаємно протилежних напрямках і задовольняють умовам: частоти, амплітуди і напрямки коливань повинні бути однаковими.

;

Рівняння зворотної :

.

Рівняння результуючої (стоячої) хвилі:

(14,10)

(Використано рівняння :

).

Амплітуда коливань точок стоячої хвилі залежить від координати r;

У всіх точках, де , амплітуда дорівнює нулю, тобто коливання завжди відсутні ; ці точки називають вузлами стоячої хвилі . В точках, де амплітуда максимальна і дорівнює 2A; ці точки називають пучностями стоячою хвилі .

мал..6

Знайдемо відстань між вузлами: .

.

; .

Відстань між вузлами