151064 (Физика), страница 4

Для

Здесь - вектор нормали к поверхности S.

Поток вектора через бесконечно малую площадку в неоднородном поле

Как и в (4.1.1):

Поток вектора через произвольную поверхность в неоднородном поле

Поток пропорционален числу силовых линий

Ф пропорционален числу линий напряженности, проходящих через площадь S (3.3) и (3.8)

Поток вектора через сферу (для поля точечного заряда).

Заряд - в центре сферы

На поверхности сферы поле постоянно по величине (3.7):

.

В любой точке сферы поле направлено перпендикулярно ее поверхности, т.е.

.

Из (4.13):

Мы получили, что:

.

Заряд в произвольном месте внутри сферы

.

Поток Ф пропорционален числу силовых линий, проходящих через сферу, а их число не изменяется при изменении положения заряда внутри сферы, т.е. поток тоже будет постоянным:

.

Поток вектора поля точечного заряда через "измятую" сферу - произвольную поверхность

Число проходящих через "измятую" сферу силовых линий не изменилось, т.е.

.

Эта формула верна для потока вектора Е поля точечного заряда, расположенного ВНУТРИ замкнутой поверхности произвольной формы.

"Измятая" сфера:

Поток вектора Е поля системы зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности

Т.к. (3.6) , то по (4.1.3) и (4.2.3) Для произвольного числа зарядов N: - алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности, делённая на ε0.

Поток вектора Е для поля, созданного зарядами, находящимися вне замкнутой поверхности

Силовая линия дважды проходит через замкнутую поверхность, один раз она учитывается со знаком "+", другой раз - со знаком "-". В результате поток в этом случае Ф = 0.

Формулировка теоремы Гаусса

Из (4.2.4) и (4.2.5) следует, что поток вектора напряженности электрического поля через ЛЮБУЮ замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной на ε0:

Из (4.1.3) , тогда теорема Гаусса запишется так:

Применение теоремы Гаусса для вычисления полей

Теорема Гаусса:

S - любая замкнутая поверхность, - сумма зарядов внутри S. Применяя теорему Гаусса, мы должны:

а) САМИ выбрать конкретную гауссову поверхность S, такую, чтобы интеграл по этой поверхности легко считался. Затем найти ;

б) посчитать сумму зарядов внутри выбранной нами S;

в) приравнять результат полученный в пункте а), к результату, полученному в пункте б), деленному на ε₀.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

а) выбор гауссовой поверхности: куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е_n=0), либо перпендикулярен (Е_n=E).

Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.

б) считаем Σq_i внутри "гауссова ящика": очевидно,

;

в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε₀:

.

Выражаем E: .

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

Поле плоского конденсатора

По 3.6. .

Т.к. , то по 4.4.1 .

Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра

- линейная плотность заряда.

Применяя теорему Гаусса, получим:

, при r > R.

Поле однородно заряженной сферы

Применяя теорему Гаусса (9.4.4.) , получим: при r > R. Если r < R, то E = 0.

Поле объемного заряженного шара

- объемная плотность заряда q- суммарный заряд шара

Применяя теорему Гаусса (4.4.), получим:

Работа электростатического поля

из (3.5).

Из (5.3.2), (5.3.3):

.

Работа электрического поля точечного заряда

Пусть Е создается точечным зарядом q, тогда из (3.7)

;

,

из (5.3.3):

.

Потенциал - энергетическая характеристика поля

Потенциал электростатического поля в точке r равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда q', помещенного в данную точку, к величине этого заряда q'.

,

φ - не зависит от q'!

Единица потенциала - 1 вольт (1 В)

.

Разность потенциалов, связь с работой

Из (5.7): . Из (9.6): ; ;

φ₁ - φ₂ - разность потенциалов, .

Потенциал поля точечного заряда

Из (5.1)

.

Из (.6.2)

.

Значит, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q:

,

здесь мы полагаем, что на бесконечности потенциал φ равен нулю.

Потенциал поля системы точечных зарядов

В общем случае:

,

здесь q_i - алгебраические величины.

Электрон-вольт - внесистемная единица работы

;

Проводник в электрическом поле

Проводник. Заряды в проводнике способны перемещаться по его объему под действием сколь угодно малой силы (свободные заряды).

Чаще всего эти заряды - электроны, у них:

Масса электрона очень мала, поэтому электроны перемещаются очень быстро.

Так, при Е = 1 В/м расстояние S = 1 м электрон пройдет в вакууме за

.

В проводнике, из-за столкновений с ионами, средняя дрейфовая скорость электронов порядка 1мм/с, но скорость распространения электрического поля с=3·10⁸ м/с.

Условия равновесия зарядов на проводнике

Равновесие - .

Внутри проводника

 (объем проводника эквипотенциален)

На поверхности проводника на заряд может действовать сила, направленная по нормали к поверхности, т.е.

- на поверхности, сама поверхность (7), (.8) - эквипотенциальная.

Проводник во внешнем электрическом поле

Мысленный опыт:

Однородное электрическое поле напряженностью

Мгновенно внесли в поле металлический параллелипипед. Электроны под действием силы начинают двигаться против поля.

Через очень малое время часть электронов сместится к левой грани параллелепипеда, на правой - положительные ионы. Перераспределившиеся заряды создают поле E', направленное навстречу E0. Когда величина E' сравняется с Е0, тогда результирующее поле в проводнике E = E0 - E' = 0, перераспределение электронов закончится.

Электроемкость уединенного проводника

Заряд q1 создаёт на уединённом проводнике потенциал φ1.

Заряд q2= 2q1 создаёт на том же проводнике потенциал φ2= 2φ1.

Значит,

.

Таким образом:

- постоянная для данного проводника величена.

С - электроемкость уединенного проводника.

.

Единица емкости - фарада, Ф.

Электроемкость конденсатора

Конденсатор - это два проводника, обычно плоской цилиндрической или сферической формы, расположенные на небольшом расстоянии друг от друга. Проводники, обкладки конденсатора, заряжают разноименными зарядами, равными по абсолютной величине:

.

Емкость конденсатора:

.

Электроемкость плоского конденсатора

Плоский конденсатор - это две плоские пластины расположенные на небольшом расстоянии друг от друга.

Поле плоского конденсатора было рассмотрено в разделе (4.4.2)

По (7): по (4.4.2): по (4.4.1):

Из (11):

Энергия электрического поля

(4.4.1)

Рассмотрим движение пластины с зарядом q- в поле пластины с зарядом q+.

q₊ = q_- = q, .

Напряженность поля пластины q₊:

(4.4.2).

Работа по перемещению пластины q_- (5.3.1):

См. (3.5)

Поле в объеме ΔV исчезло, значит работа A₁₂ совершена за счет убыли энергии поля:

.

В единице объема поля запасена энергия:

,

где

.

Плотность энергии электрического поля в вакууме