Лекция 1. Вводная

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображений на плоскости.

Основоположником начертательной геометрии, как науки, является французский ученый 18 века Гаспар Монж, систематизировавший все существующие знания в этой области и создавший труд «Geometry descriptive», изданный в 1799 г.. Г. Монж говорил, что «…нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей, как богатых, для того, чтобы они были в состоянии употреблять свои капиталы с пользой – равно для себя и государства, так и для тех, у которых образование является единственным богатством, для того, чтобы они могли увеличить цену своего труда».

В России впервые этот предмет был введен в Московском высшем училище в 1810 году в Институте путей сообщения в Петербурге.

«Чертеж – это язык техники», - говорил Г. Монж, а проф. Курдюмов продолжал эту мысль: «А начертательная геометрия - это грамматика этого языка, т.к. учит нас правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов только линиями и точками, как элементами всякого изображения».

Начертательная геометрия ставит перед собой 2 задачи:

1. Прямая ― научиться изображать на плоскости по оригиналу трехмерные геометрические объекты.

2. Обратная ― по заданному чертежу восстановить положение оригинала в пространстве.

Существуют центральный и параллельный методы проецирования. Рассмотрим первый.

Метод центрального проецирования

Если дана некоторая плоскость П₁, которую мы назовем плоскостью проекций, центр проекций S вне ее, а также точку А, то проведя через т. А из центра S проецирующий луч, мы получим проекцию т. А на пл. проекций П₁. Если таких произвольно расположенных точек будет несколько, то в итоге мы получим некую коническую поверхность, поэтому этот метод называется еще и коническим. При таком способе проецирования нет размерного соответствия между изображением и моделью. (Рисунок 1)

Рисунок 1 Рисунок 2

Метод параллельного проецирования

В тех случаях, когда размерное соответствие обязательно, используют метод параллельного или цилиндрического проецирования, когда центр проецирования находится в бесконечности и проецирующие лучи параллельны между собой (рисунок 2). В качестве фиксированного базиса используют три взаимно-перпендикулярных плоскости проекций.

Первая из них называется фронтальной плоскостью и обозначается латинской буквой V. Она стационарна. А проекциям точек этой плоскости присваивают индекс этой же плоскости, например А^v, А^н, А^w.

Вторая пл. проекций, расположенная горизонтально, так и называется – горизонтальная и обозначается - Н. Для получения плоского чертежа ее поворачивают относительно оси ох переднюю полу вниз, заднюю вверх.

Третья плоскость расположена, как и первая вертикально, но перпендикулярна к фронтальной, и разворачивается против часов стрелки вокруг оси oz при совмещении плоскостей в единую и называется профильной - W.

Эти три плоскости взаимно перпендикулярны и делят пространство на 8 углов – октантов.

Пересекаясь между собой, три плоскости образуют линии пересечения – оси.

V ∩ H ox (ось абсцисс); H ∩ W oy (ось ординат); V ∩ W oz (ось аппликат).

Ниже на чертеже представлена модель пространства и рядом изображение ее на плоскости.

Рисунок 3 Рисунок 4

При этом следует помнить, что проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскостям проекций.

При проецировании мы будем использовать такие геометрические образы как точка, прямая, плоскость, объемные тела.

Точка

Точка – это геометрический образ, не имеющий измерений. Проекцией точки является основание перпендикуляра проецирующего луча, опущенного на плоскость проекций из заданной пространственной точки. Точка может быть задана на чертеже своими координатами, например: А (20;30;15;) или проекциями.

Х - указывает на расстояние до профильной плоскости проекций, Y – до фронтальной, Z – до горизонтальной.

Ортогональный чертеж точки образуется при проведении линий связи из соответствующих координат. На пересечении этих, перпендикулярных между собой линий и образуются проекции точек.

X,Y A^h; X,Z A^v; Y,Z A^w.

Линия связи – это прямая, соединяющая две проекции точки. Следует помнить, что фронтальная A^v и профильная A^w проекции точки всегда находятся на горизонтальной линии связи, а фронтальная A^v и горизонтальная A^h -- на вертикальной

Существует 3 способа получения третьей проекции:

1. Проекционный, когда ножка циркуля устанавливается в начало координат О, и раствором циркуля, равным координате у проводится дуга до пересечения с осью ох.

2. С помощью постоянной чертежа k-45, когда из начала координат под углом 45 проводят прямую.

3. Координатный (самый точный и поэтому предпочтителен), когда на линии связи А^v - А^w от оси Z откладывают координату Y.

Классификация точек в пространстве

Пространственная точка А находится () в пространстве R, когда ни одна из ее координат не равна 0.

Если одна из кординат = 0, а остальные не равны, то в общем случае точка принадлежит плоскости проекций. Так, если:

1. Х = 0, а Y, Z 0, то точка принадлежит профильной плоскости проекций.

2. Y = 0, а X, Z 0, то точка принадлежит фронтальной плоскости проекций.

3. Z = 0, а X, Y 0, то точка принадлежит горизонтальной плоскости проекций.

Если две координаты точки = 0, то точка находится на оси. Так, если:

1. Y, Z = 0, а X 0, то точка находится на оси X,

2. X, Z = 0, а Y 0, то точка находится на оси Y,

3. Х, Y = 0, а Z 0, то точка находится на оси Z

Когда точка лежит в начале координат О – (ориго - начало, лат.), то все ее координаты равны 0.

При выполнении чертежей и решении задач не всегда нужна третья проекция, поэтому в таких случаях пользуемся системой двух взамно-перпендикулярных плоскостей V и H. Например, эпюры точек А, В, С, D, E, F в системе четвертей выглядят следующим образом:

Рисунок 5

Проверьте себя, знаете ли вы:

1. Что изучает предмет «Начертательная геометрия»?

2. Чем отличаются методы центрального и параллельного проецирования?

3. Что такое плоскости проекций, сколько углов в пространстве они образуют, пересекаясь между собой?

4. Как образуется плоский чертеж (эпюр)?

5. Определение точки в пространстве и способы задания ее на чертеже.

6. Способы построения третьей проекции точки.

7. Классификацию точки в пространстве.

8. Можете ли вы по чертежу определить, как в пространстве расположена точка? (см. рисунок 5).

Лекция 2

Прямая

Прямая – это множество точек с одним измерением. Прямая на чертеже может быть задана проекциями точек или точкой и направлением. В пространстве прямая бесконечна и для ее ограничения используются термины и понятия – отрезок, луч.

Положение прямой в пространстве:

Прямая в пространстве может занимать 7 различных положений относительно плоскостей проекций.

1. Линии уровня – это прямые, параллельные только к одной плоскости проекций, на которую проецируются в натуральную величину:

а) фронтальная f б) горизонтальная h в) профильная p

Рисунок 1

1. Проецирующие прямые – прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей. На две пл. проекций проецируются в натуральную величину на третью - в точку.

а)горизонт.-проецир. m, б)фронт.-проецир. в)проф.-проецир. р

Рисунок 2

1. Линии общего положения – это линии, которые ни на одну из плоскостей проекций не проецируется в натуральную величину. Для такой прямой

1. Z_А - Z_В 0 2. Y_А – Y_В 0, 3. X_А – X_В 0,

Рисунок 3

Метод прямоугольного треугольника

Чтобы определить натуральную величину (Н.В). прямой общего положения и углы ее наклона к пл. проекций, необходимо воспользоваться методом прямоугольного треугольника.

Рисунок 3

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть требуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении СА: СВ= 2: 3. Из точки А проведем в произвольном направлении вспомогательную прямую и на ней отложим 2+3=5 равных масштабных отрезков любой длины, получив отрезок А5. Точки 5 и В соединим прямой. Через точку 2 проведем прямую, параллельную В5, в пересечении этой прямой с отрезком АВ получим искомую точку С. Отрезку СА соответствуют два масштабных отрезка на вспомогательной прямой, а отрезку СВ – три таких отрезка. Точка С делит отрезок АВ в отношении 2: 3.

Рисунок 4

Относительное положение точки и прямой в пространстве

Возможны два случая:

1. А є l 2. А l

Если точка принадлежит прямой, то на эпюре их одноименные проекции совпадают.

1.Точка D є l, тогда Dh є lh, Dv є lv, Dw є lw

Задача 1.

По заданному чертежу определить положение точек относительно заданной прямой.

Рисунок 5

Следы прямой

Следы прямой — это точки пересечения прямой или ее продолжения с плоскостями проекций. У горизонтального следа Z = 0, у фронтального Y = 0.

Для того чтобы найти горизонтальный след, необходимо фронтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х. и провести линию связи до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой.

Чтобы найти фронтальный след, необходимо горизонтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х и провести линию связи до пересечения ее с фронтальной проекцией прямой.

Рисунок 6

Взаимное положение прямых относительно друг друга.

1. Прямые могут быть пересекаться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии связи (рисунок а).

2. Прямые могут скрещиваться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рисунок б).

3. Прямые могут быть параллельны между собой и тогда их одноименные проекции также параллельны между собой (рисунок с).

а) б) в)

Рисунок 7

Проверьте себя:

1. Что такое прямая?

2. Способы задания прямой на чертеже.

3. Положение прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

4. В чем заключается сущность метода прямоугольного треугольника?

5. Деление прямой в заданном отношении.

6. Что такое следы прямой и как построить их проекции?

7. Взаимное положение прямых в пространстве.

Лекция 3

Плоскость

Плоскость – это множество точек с двумя измерениями. Определителем плоскости являются три точки. Через одну и две точки можно провести множество плоскостей, и только через три точки можно провести единственную плоскость. Плоскость безгранична, но если ее ограничивают каким-либо контуром, то она называется отсеком

Существует шесть способов задания плоскостей (рисунок 1):

1. тремя точками,

2. прямой и точкой, не лежащей на этой прямой,

3. двумя параллельными прямыми,

4. двумя пересекающимися прямыми,

5. плоской фигурой,

6. следами

Рисунок 1

Относительно плоскостей проекций плоскость заданная может занимать шесть различных положений:

1. плоскости уровня: горизонтальная (1), фронтальная (2) и профильная (3), которые параллельны соответствующим плоскостям проекций, и перпендикулярны двум другим (рисунок 1),

2. проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующие (4), фронтально–проецирующие (5), профильно-проецирующие (6), которые перпендикулярны только к одной плоскости проекций (рисунок 1),

3. плоскость общего положения, не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскости проекций (рисунок 2).