85528 (Введение в математический анализ), страница 2

величиной при x → a.

Если x < a и x → a, то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a, то пишут x → a + 0.

делом функции f(x) в точке a.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

4)

5) при ( )

Используются также первый и второй замечательные пределы:

1)

2)

Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Пример 9. Показать, что при n→∞ последовательность имеет пределом число 2.

Решение. Здесь n–й член последовательности . Следовательно, . Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь . Следовательно, .

Пример 10. Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5,

13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.

Решение. Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/ . Определим, при каком значении n выполняется неравенство

5/ ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2.

Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13).

Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125).

Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250).

Пример 11.

Решение. Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу

5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.

Пример 12.

Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при

x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида .

Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем

Пример 13.

Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при

x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида .

Пример 14.

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

Пример 15.

Решение. Имеем

Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и

Пример 16.

Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму

:

Пример 17.

Решение. Положим , тогда

Пример 18.

Решение. Имеем

Пример 19.

Решение. Имеем

Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв

Пример 20.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т.е. на :

Пример 21.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 22.

Решение. Умножим и разделим рассматриваемое выражение на

:

Пример 23.

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

Таким образом,

так как

то

Приняв во внимание, что

Пример 24. Найти левый и правый пределы функции

при x → 3.

Решение.

Пример 25. Найти левый и правый пределы функции при

x → a.

Решение.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а; 2) существует ; 3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.

Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), можно условие непрерывности записать так:

тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Точка а, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы:

причём не все три числа равны между собой, то а называется точкой разрыва I рода.

В частности, если левый и правый пределы функции в точке а равны между собой: , но не равны , то а называется устранимой точкой разрыва.

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

Пример 26.

Решение. Находим

Таким образом, функция при не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода (рис. 4).

Пример 27.

Решение.

Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, является точкой разрыва I рода.

Рис. 4 Рис. 5

Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода

(рис. 5).

Пример 28.

Решение. В точке функция не определена, так как, выполнив

может быть сокращена на , так как . Следовательно, при

Легко видеть, что

Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при

при всех значениях x, не исключая и . В этом случае графиком функции будет прямая линия .

Пример 29. Доказать, что функция непрерывна в точке .

Решение. Находим

.

Значит, функция непрерывна в точке .

Пример 30. Исследовать на непрерывность функцию

и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва.

Решение. Знаменатель при обращается в ноль, и значит, при не существует. Следовательно, точка разрыва функции.

Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при .

Таким образом, пределы функции слева и справа при равны между собой, но в точке функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6

Рис. 6

Доопределив функцию в точке , положив , получим непрерывную функцию