85528 (Введение в математический анализ)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственный технический университет

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие по математике

для студентов всех специальностей

заочной формы обучения

2007

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные определения и понятия

Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными.

Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных, или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:

1. некоторая точка О, называемая началом отсчёта;

2. положительное направление, указываемое стрелкой;

3. масштаб для измерения длин.

Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси существует взаимно–однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное действительное число ׀x׀, определяемое следующим образом: ׀x׀ = x, если x ≥ 0, и ׀x׀ = –x, если x < 0.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

Переменная величина называется упорядоченной, если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность

Переменная величина называется возрастающей (убывающей), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:

– M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x׀ ≤ M.

Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y.

Переменная x называется в этом случае аргументом, или независимой переменной, а множество X – областью определения функции.

Запись y = f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).

Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток) (a, b), т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a < x < b; сегмент (отрезок или замкнутый промежуток) , т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b; полуинтервал (т.е. a < x ≤ b) или (т.е. a ≤ x < b); бесконечный интервал (a, + ∞) (т.е. a < x < + ∞) или (– ∞, b) (т.е. – ∞ < x < b) или (– ∞, + ∞) (т.е. – ∞ < x < + ∞); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.

Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).

Функция f(x) называется чётной, если для любого значения x. График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной, если для любого значения x. График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.

Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство .

Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число τ, для которого f(x + τ) = f(x) при любом x. Следует иметь в виду, что f(x + kτ) = f(x), где k – любое целое число.

Функции задаются:

1. аналитически (в виде формулы), например, ;

2. графически (в виде графика);

3. таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.

Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:

1. Степенная функция: , где α – действительное число.

2. Показательная функция: , где a > 0, a ≠ 1.

3. Логарифмическая функция: , где a > 0, a ≠ 1.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,

y = sec x, y = cosec x.

1. Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x,

y = arccosec x.

Если y является функцией от u, а u есть функция от x, то y также зависит от x. Пусть y = F(u), u = φ(x). Тогда y = F(φ(x)). Последняя функция называется функцией от функции, или сложной функцией. Например, y = sin u, u = . Функция y = sin ( ) есть сложная функция от x.

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x), где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Например, y = ׀x׀ = ; ; .

Пример 1. Найти , если .

Решение. Найдём значения данной функции при x = a и x = b:

, .

Тогда получим

Пример 2. Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:

а) б) ; в) ;

г) .

Решение. а) Так как , то

т.е. f(– x) = – f(x). Следовательно, функция нечётная.

б) Имеем , т.е.

f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

в) Здесь ,т.е.

f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.

г) Здесь . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Функция определена, если 2x – 1 ≠ 0, т.е. если . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов:

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Функция определена, если x – 1 ≠ 0 и 1+ x > 0, т.е. если x ≠ 1 и x > – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞).

Пример 5. Найти область определения функции

Решение. Первое слагаемое принимает вещественные значения при 1 –2x ≥ 0, а второе при . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств: Получаем

Следовательно, областью определения будет сегмент

.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

При построении графиков функций применяются следующие приёмы:

а) построение «по точкам»;

б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);

в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение).

Исходя из графика функции y = f(x), можно построить графики функций:

1) y = f(x – a) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a;

2) y = f(x) + b – тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b;

3) y = A · f(x) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy;

4) y = f(kx) – тот же график, сжатый в k раз вдоль оси Ox.

Таким образом, можно по графику функции y = f(x) построить график функции вида .

Рис. 1

Пример 6. Построить график функции y = 2x + 1 + cos x.

Решение. График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y = 2x + 1, y = cos x. График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1).

Пример 7. Построить график функции

Решение. При x < 3 графиком является луч прямой, а при x ≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2.

Рис. 2

Пример 8. Построить график функции y = 2 sin (2x – 1) или

Решение. Здесь Исходный график y = sin x. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции путём сдвига вправо и, наконец, искомый график функции y = 2 sin (2x – 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3).

Рис.3

ПРЕДЕЛЫ

Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что при n > N.

Число A называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f(x) – A׀ < ε при
.

где M – произвольное положительное число .

В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x → a.