112896 (Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе), страница 4
Описание файла
Документ из архива "Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "педагогика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "педагогика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "112896"
Текст 4 страницы из документа "112896"
20 Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла; решается задача: «Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику». Решение опирается на рассмотрение различных треугольников и доказательства их подобия.
Для формирования практической значимости подобия треугольников рассматривается метод подобия, после описания, которого предлагаются задачи с решениями.
Уже в последнем пункте вводиться понятие подобия произвольных фигур и коэффициент подобия фигур. Эти понятия вводятся через сопоставление двух точек M, N одной фигуры F, точкам M1, N1 другой фигуры F1 и , где k-одно и тоже положительное число для всех точек. Далее делается вывод, что каждая точка фигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Здесь же предлагается способ построения подобных фигур.
В последнем параграфе анализируемой темы учащиеся знакомятся с элементами тригонометрии, необходимые для решения прямоугольных треугольников. Здесь вводятся новые понятия синуса, косинуса, тангенса. Их определения даются через отношения сторон прямоугольного треугольника друг к другу. Причём тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. При рассмотрении данных понятий вводятся их обозначение. Далее формулируется и доказывается утверждение о том, что из равенства острых углов следует равенство значений тригонометрических функций соответствующих данным углам. Сначала доказывается подобие треугольников, из которых следует пропорциональность сходственных сторон треугольников, пользуясь полученными равенствами, получаем доказываемый материал. Здесь же доказывается sin2A+cos2A=1 называемое основным тригонометрическим тождеством. При доказательстве опираются на новые понятия синуса, косинуса и на теорему Пифагора. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300 , 450 , 600 находятся через основное тригонометрическое тождество, Через теорему о катете лежащем против угла в 300, через теорему Пифагора. Полученные результаты отображены в таблице. Материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратичные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В систему упражнений включено более 50 задач. Большая часть направлена на прямое или опосредованное применение теории. Много задач познавательного характера, способствующие получению новых фактов, которые используются при решении других задач (№534, 537, 569,…), задачи с практическим содержанием (№546, 579, 580, 581, 583,…).
Изучая тему «Подобные треугольники», можно подробно остановиться на примерах из реального мира, необходимо рассказать об истории возникновения и развития подобия, подробно рассказать легенду о Фалесе, который измерил высоту пирамиды без всяких приборов по отбрасываемой ею тени. Познакомить учащихся с золотым треугольником, золотым прямоугольником, золотым сечением, которое является одним из удивительно красивых объектов, интерес к которым проявляли учёные, художники на протяжении многих веков.
-
§3. Методические особенности изучения темы «Подобные треугольники»
Формирование понятия пропорциональные отрезки на прямую связано с подобием треугольников, именно через это понятие прокладывается логический мостик к определению коэффициента подобия. Для полного понимания необходимо решать как можно больше задач вида №534.
При рассмотрении подобных треугольников важное условие, накладываемое на порядок записи вершин подобных треугольников, позволяющее (как и в случае равных треугольников) непосредственно из условия указать, какие именно углы равны: и какие стороны пропорциональны, это полезно так же и для контроля правильности записи пропорциональных сторон с целью предупреждения ошибок учащихся.
Для того чтобы выработать соответственный навык у учащихся, полезно решать устно задачи типа:
-
, AB=3см, BC=4см, AC=6см, A1B1=12см. Вычислить B1C1 и A1C1.
-
, , чему равны ? [ ].
Отношение площадей подобных треугольников необходимо не только для решения многих задач, но и для познавательной деятельности позволяющей осмыслить тот факт, что «отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия».
Особое внимание следует обратить на первый признак подобия треугольников, так как он лежит в основе доказательства двух других признаков, а, кроме того, чаще других применяется при решении задач. Общий план доказательства имеют второй и третий признак:
-
Рассматривается треугольник АВС2;
-
Доказывается, что треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны (по первому признаку);
-
Доказывается равенство треугольников АВС и АВС2.
Поэтому можно первый и второй признак доказать самому учителю, а третий самостоятельно или первый и третий признак, а второй самостоятельно, при этом можно составить с учащимися приведённый выше план.
Признаки можно обозначить традиционно номерами, а можно проводить ссылки по содержанию: по равенству двух углов, по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, по пропорциональности трёх сторон.
В результате изучения темы учащиеся должны знать определение подобных треугольников, формулировки признаков подобия треугольников, уметь воспроизводить доказательства признаков в ходе изучения текущего материала, применять признаки подобия при решении задач.
Чтобы показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решении разнообразных задач, измерительных работ на местности изучается параграф о применении подобия, полезно повторить с учащимися второй признак подобия треугольников и познакомить с идеей доказательства теоремы о средней линии треугольника, и решить по готовым чертежам задачи устного характера.
После рассмотреть определение средней линии треугольника и сформулировать теорему о средней линии треугольника, а учащимся можно предложить провести доказательство самостоятельно.
Изучение пункта пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно организовать: по готовым чертежам доказать подобие предложенных различных треугольников, а затем как следствие из доказанного обосновать утверждение 10 и 20. Перед тем как приступить к решению задач на построение методом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение: Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте: медиану АМ, биссектрису AD и высоту AH треугольника АВС;
-
прямую BN, параллельную медиане AM.
(Не обязательно чтобы учащиеся выполняли все построения циркулем и линейкой, достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполнения операций). На последнем из уроков , необходимо рассмотреть материал раздела «Измерительные работы на местности», в конце урока желательно провести небольшую беседу (10 минут) о подобии произвольных фигур.
Тематическое планирование
№ пункта | Название параграфа или пункта | Количество часов |
Глава 1. Подобные фигуры | 19 | |
§1. Определение подобных треугольников. | 2 | |
56 | Пропорциональные отрезки | 1 |
57 58 | Определение подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников | 1 |
§2. Признаки подобия треугольников | 5 | |
59 | Первый признак подобия треугольников | 2 |
60 | Второй признак подобия треугольников | 1 |
61 | Третий признак подобия треугольников | 1 |
Решение задач по теме | 1 | |
Контрольная работа | 1 | |
§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач | 7 | |
62 | Средняя линия треугольника | 2 |
63 | Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике | 2 |
64 | Практические приложения подобия треугольников (решение задач на построение) | 1 |
64 65 | Практические приложения подобия треугольников (измерительные работы на местности) Подобие произвольных фигур | 2 |
§4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника | 3 | |
66 | Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника | 1 |
67 | Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450, 600. | 1 |
Решение задач по теме | 1 | |
Контрольная работа | 1 |
-
§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников
Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения [5].
Пусть в треугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
, , , (1)
(2)
Обозначение. АВС~ А1В1С1.
Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).
Первый признак подобия треугольников.
Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых , .
По теореме о сумме углов треугольника , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1. Так как и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).