br_2 (Хороший учебник), страница 5

Умножим (13.8) на элемент объема dV = dxdydz и обозначим dN = ndxdydz — число молекул в элементарном объеме dV. Тогда

где N — полное число молекул.

Полученную формулу удобно трактовать с несколько иной точки зрения, пользуясь понятием вероятности, а именно, считать, что

где А — некоторая постоянная, есть вероятность для любой взятой наугад молекулы газа, существующего в равновесии при температуре Т, находиться в элементе. объема dV = dxdydz

вблизи точки с координатами (x,y,z) (рис. 13.2). Такая трактовка будет понятна из дальнейшего.

3. Понятие о вероятности

К понятию вероятности, в отличие от "достоверности", мы прибегаем в тех случаях, когда речь идет о случайных событиях, то есть таких, условия наступления которых по тем или иным причинам неизвестны и которые поэтому нельзя с уверенностью предсказать.

Например, бросая много раз монету, мы можем быть уверены, что приблизительно в половине случаев она упадет обращенной вверх стороной с гербом. Поэтому говорят, что вероятность выпадения герба равна 1/2. И это

будет тем вероятней, чем больше будет число бросаний.

Эти и подобные им опыты позволяют нам дать
следующее определение вероятности:

вероятностью события называется предел, к которому стремится отношение числа опытов, приводящих к его осуществлению, к общему числу опытов при беспредельном увеличении последнего.

Если из N опытов N' приводят к реализации интересующего нас события, то вероятность w этого события

Рассмотрим теперь еще один пример, который позволит нам осуществить одно из важных положений теории вероятностей и, кроме того, дать еще одно определение самой величины вероятности.

Пусть в ящике лежат 20 абсолютно одинаковых шаров, 5 из которых окрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Извлечем из ящика один шар. Спрашивается, какова вероятность того, что будет вынут белый шар? Так как для каждого шара (белого или черного) вероятность быть вынутым равна 1/20, а всего белых шаров пять (и нам все равно, какой из них будет вынут), то искомая вероятность равна сумме вероятностей для всех белых шаров:

Этот результат выражает одно из важных положений теории вероятностей — теорему сложения вероятностей, которая гласит: если w,_r w₂, w₃ и т.д. — вероятности нескольких исключающих друг друга событий, то вероятность того, что осуществится или событие 1, или 2, или 3 и т.д., равна сумме вероятностей всех этих событий:

Приведенный пример позволяется нам дать новое определение вероятности, несколько отличающееся от прежнего: вероятность данного события равна отношению числа случаев, благоприятствующих его наступлению, к общему числу возможных случаев, если все случаи равновозможны. В нашем примере с шарами число случаев, благоприятствующих наступлению события равно 5, а общее число возможных случаев - 20.

если суммируются вероятности всех без исключения возможных событий.

Теперь становится понятным, почему

Из этого определения вероятности ясно, что вероятность достоверного события равна единице, или

56

газа в элементе объема dV = dxdydz вблизи

точки с координатами (x,y,z), при этом молекула обладает потенциальной энергией U(x,y,z).

Нам остается изложить еще одно важное положение теории вероятностей — теорему умножения вероятностей. Эта теорема гласит: если имеются несколько независимых событий, вероятности которых w₁₍ w₂, w₃,..., то вероятность того, что наступит одновременно событие 1 и событие 2, и событие 3 и т.д., равна произведению вероятностей каждого из них, т.е.

4. Распределение Максвелла молекул по скоростям

Представим себе сосуд с газом, помещенный в пустое пространство. Газ внутри сосуда находится в равновесии и его молекулы каким-то образом распределены по скоростям. Это распределение нам и требуется найти. Рассмотрим движение молекулы вдоль оси ОХ. Можно доказать, что вероятность того, что скорость центра масс любой молекулы лежит в интервале от v_x до v_x + dv_x (мы опускаем индекс "О" для скорости центра масс), определяется выражением:

В предыдущих лекциях мы уже неоднократно
использовали понятия средних значений
различных физических величин,

характеризующих движение молекул: среднюю скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы и т.д.

Нетрудно видеть, что средние значения физических величин тоже тесно связаны с понятием вероятности.

Пусть требуется определить некоторую величину а, относящуюся к какой-либо системе частиц. Для этого мы должны проделать (конечно, мысленно) множество наблюдений над системой (их число равно N). Тогда окажется, что при Nj наблюдениях мы найдем, что интересующая нас величина а имеет значение а^ N₂ наблюдений дадут для а значение а₂ и т.д. Среднее значение а, по определению, равно:

Это означает, что число молекул, находящихся в тепловом равновесии при температуре Т и обладающих скоростью v_x в интервале от v_x до v_x + dv_x равно

Постоянную А можно определить из условия, что

Делая замену переменных

получим

Рассмотрим теперь случай, когда случайная величина а может принимать не дискретные значения а_р а₂, ..... а любые. В этом случае задача ставится следующим образом. Какова вероятность того, что случайная величина а при измерении будет иметь значение от а до a + da, где da — бесконечно малое изменение а? Можно записать, что эта вероятность

случайной величины а, или ее функцией распределения. Среднее значение величины а определяется тогда по формуле

где интегрирование проводится по всем возможным значениям величины а. При этом

Полученное выражение для функции распределения молекул по х-компонентам скоростей не может быть "привилегией" именно х-компоненты скорости. Очевидно, что совершенно такие же выражения должны определять и распределения молекул по другим компонентам скорости, так что

57

Теперь мы можем найти вероятность того, что скорость любой молекулы удовлетворяет одновременно трем условиям:

Это означает, что число таких молекул

На основании теоремы о произведении вероятностей эта вероятность равна

Этой формуле можно дать наглядное геометрическое толкование. Введем трехмерное пространство скоростей молекулы v_x,v_y,v_z (рис. 13.3). Тогда формулу (13.25) можно

дает функцию распределения Максвелла по абсолютной скорости.

При выводе распределения Максвелла мы не
принимали во внимание столкновения между
молекулами, хотя столкновения не могут не
влиять на их скорости, а значит и на
распределение их по скоростям. В
действительности именно благодаря

столкновениям и устанавливается максвелловское распределение по скоростям.

Поэтому распределение Максвелла — это равновесное распределение, следовательно, можно сказать, что ддижр>ние молекул полностью беспорядочно (хаотично), если скорости молекул распределены по закону Максвелла.

5. Характерные скорости молекул

Пользуясь функцией распределения Максвелла
(13.27), можно вычислить ряд величин, важных для
молекулярной физики. Здесь в качестве примера
мы приведем вычисления средней

арифметической скорости (v) молекулы, средней квадратичной скорости

и, наконец,

наиболее вероятной скорости v_HB. Начнем со средней арифметической скорости (v). На основании (13.20)

трактовать, как вероятность нахождения молекулы в элементарном объеме пространства скоростей dv_x,dv_y,dv_z вблизи точки с координатами

(v_x,v_y,v_z).

Формула (13.25) называется распределением Максвелла по компонентам скоростей.

Если нас интересует вероятность того, что молекула газа обладает абсолютной скоростью поступательного движения в пределах от v до v+dv, то вместо dv_x,dv_y,dv_z мы должны взять

объем, заключенный в пространстве скоростей между сферой радиусом v+ dv и сферой радиусом v, который равен 4?rv²dv. Тогда вероятность того, что молекула обладает при тепловом равновесии абсолютной скоростью от v до v+dv, дается выражением

После несложного интегрирования по частям получим окончательно:

газовая постоянная.

Для определения среднеквадратичной скорости находим

Стоящий в (13.30) интеграл является частным случаем так называемого интеграла Пуассона, который имеет вид

где dN_v — число таких молекул. Эта формула

где а — положительная постоянная. Он равен:

58