Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обобщенно булевы решетки

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Онучин Андрей Владимирович

Научный руководитель:

к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры и геометрии ВятГГУ
Чермных Василий Владимирович

Рецензент:

д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии ВятГГУ

Вечтомов Евгений Михайлович

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов

«___»__________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение 3

Глава 1 4

1.1. Упорядоченные множества 4

1.2. Решётки 5

1.3. Дистрибутивные решётки 7

1.4. Обобщённые булевы решётки, булевы решётки 8

1.5. Идеалы 9

Глава 2 11

2.1. Конгруэнции 11

2.2. Основная теорема 16

Библиографический список 22

Введение

Булева решётка представляет собой классический математический объект, который начал интенсивно изучаться в работах М. Стоуна 30-е годы 20-го века, расширением этого понятия до обобщённо булевых решёток занимались Г. Гретцер и Е. Шмидт в своих трудах конца 50-х годов.

Цель данной работы: установление взаимно однозначного соответствия между конгруэнциями и идеалами в обобщённо булевых решётках. (Для булевых решёток это положение доказано в книге [2], кроме того, сформулировано в книге [3] в качестве упражнений). А также – установление связи между обобщённо булевыми решётками и булевыми кольцами.

Данная дипломная работа состоит из двух глав: в первой главе даны основные понятия, а так же содержатся базовые сведения из теории решёток. Кроме того, в первой главе рассмотрено несколько простейших теорем.

Вторая глава представляет собой основную часть данной дипломной работы. Опираясь на работы Гретцера Г., но более подробно, рассмотрены свойства конгруэнций и связь конгруэнций и идеалов в обобщённо булевых решётках (Теоремы 2.1, 2.2, 2.3.). Кроме того реализована основная цель данной дипломной работы: установлена связь между булевыми кольцами и обобщённо булевыми решётками (Основная теорема).

Глава 1

1.1. Упорядоченные множества

Упорядоченным множеством P называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:

1. Рефлексивность: .

2. Антисимметричность. Если и , то .

3. Транзитивность. Если и , то .

Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .

Примеры упорядоченных множеств:

1. Множество целых положительных чисел, а означает, что делит .

2. Множество всех действительных функций на отрезке и означает, что для .

Цепью называется упорядоченное множество, на котором для любых имеет место или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества P. Изобразим каждый элемент множества P в виде небольшого кружка, располагая x выше y, если . Соединим x и y отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества P.

П римеры диаграмм упорядоченного множества:

1.2. Решётки

Верхней гранью подмножества Х в упорядоченном множестве Р называется элемент a из Р, больший или равный всех x из X.

Точная верхняя грань подмножества X упорядоченного множества P – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом sup X и читается «супремум X ».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается inf X и читается «инфинум ») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань X существует, то она единственна.

Р ешёткой

называется упорядоченное множество L, в котором любые два элемента x и y имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

Примеры решёток:

Примечание. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 1, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 0.

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. , идемпотентность;

2. , коммутативность;

3. , ассоциативность;

4. , законы поглощения.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть L - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на L, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём: и .

Доказательство. Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.

Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно, и .

Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е. .

По определению точней верхней грани убедимся, что .

Из свойств (2), (4) вытекает, что и .

Если и , то по свойствам (3), (4) получим:

.

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

.

Таким образом, .

Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:

1. .

2. .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

1.

2. .

1.3. Дистрибутивные решётки

Решётка L называется дистрибутивной, если для любых выполняется:

D1. .

D2. .

В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.

Примеры дистрибутивных решёток:

1. Множество целых положительных чисел, означает, что делит . Это решётка с операциями НОД и НОК.

2. Любая цепь является дистрибутивной решёткой.

Т ЕОРЕМА 1.2. Решётка L с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].

1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки

Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.

Решётка L называется обобщённой булевой, если для любых элементов и d из L, таких что существует относительное дополнение на интервале , т.е. такой элемент из L, что и .

(Для , , интервал | ; для , можно так же определить полуоткрытый интервал | ).

ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элемента существует два относительных дополнения и на интервале . Покажем, что . Так как относительное дополнение элемента на промежутке , то и , так же относительное дополнение элемента на промежутке , то и .

Отсюда

,

таким образом , т.е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.

Решётка L называется булевой, если для любого элемента из L существует дополнение, т.е. такой элемент из L, что и

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.

ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что . Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент , где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, , кроме того . Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

1.5. Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом, если для любых элементов и элемент лежит в I. Идеал I называется собственным, если . Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, что и следует или .

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если , то вместо будем писать и называть главным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если , то , и если , то .

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда влечёт за собой , так как I – подрешётка. Если , то и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и . Тогда и так как , то , следовательно, I – подрешётка. Наконец, если и , то , значит, и I является идеалом.

Глава 2

2.1. Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т.е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) на решётке L называется конгруэнцией на L, если и совместно влекут за собой и (свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

(ω) ; (ι) для всех .