86416 (Обобщение классических средних величин), страница 4

Пример 4 (неравенство Бернулли). Для и функция выпукла вниз, и поэтому , где , , , или . В частности, если положить , , , то получим так называемое обобщённое неравенство Бернулли ( ).

Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все равны друг другу (так как в каждом случае ).

На основании же теоремы 14 мы получаем аналоги приведённых неравенств.

Пример 1^/. , где , , , , .

Пример 2^/. , где , , , .

Пример 3^/. , где , , , .

Пример 4^/. , где .

Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все равны a или все равны b.

1. Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог

Один из вариантов неравенства Гёльдера (для средних значений) выглядит так [2]: , где , , , , , .

Запишем его в следующей форме с квази-средними, заданными функциями , , , или . Снова, как и для обобщения неравенства Коши, зададимся вопросом, будет ли неравенство Гёльдера выполнятся для произвольных квази-средних.

Теорема 15. Для того чтобы выполнялось неравенство для всех , , , необходимо и достаточно, чтобы = была выпуклой вверх функцией, если возрастает, или выпуклой вниз функцией, если убывает.

Доказательство. Пусть возрастает. Тогда наше неравенство эквивалентно неравенству . Полагая = и , , переписываем . А новое неравенство по теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция или выпукла вверх.

При убывании рассуждаем аналогично.

Теорема 16. Для того, чтобы для всех , , , и , , выполнялось неравенство достаточно, чтобы функция = была выпуклой вверх, если возрастает, или выпуклой вниз, если убывает.

Доказательство точно так же, как и предыдущей теореме, сводим к теореме 11.

Теоремы 15 и 16 содержат как частные случаи следующие известные неравенства и их аналоги.

Пример 1 (неравенство Гёльдера). Для , , функция = = по теореме 12 выпукла вверх, если и , и поэтому для .

Пример 2 (неравенство Коши-Буняковского). Для

, где , , .

Пример 1^/ (аналог неравенства Гёльдера). , где , , , , , , , , .

Пример 2^/ (аналог неравенства Коши-Буняковского). , где , , .

Заключение

Теперь когда мы завершили изложение нашего вопроса, скажем несколько слов о возможных направлениях развития темы.

Всё доказанное о квази-средних можно разделить на две части: теоретическую (аксиоматическое задание, выделение классов новых величин) и практическую (неравенства для квази-средних как метод доказательства менее общих неравенств).

Первую часть считаем завершённой. Вторая часть остаётся открытой. Как мы видели, доказательство новых неравенств для выпуклых функций даёт возможность сформулировать новые неравенства и для квази-средних. Последние в свою очередь можно конкретизировать для их частных случаев. Так с помощью аналога неравенства Иенсена мы вывели неравенство для квази-средних, из которого в качестве следствия получили аналог неравенства Коши.

Библиографический список

1. Muliere, P. On Quasi-Means [Text] / P. Muliere // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 3(2), 1991, Article 21.

2. Харди, Г.Г. Неравенства [Text] / Г.Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полиа.–М.: Иностранная литература, 1948.

3. Калинин, С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: Учебное пособие по спецкурсу [Text] / С. И. Калинин.–Киров: Изд-во ВГГУ, 2002.

4. Беккенбах Э. Неравенства [Text]/ Э. Беккенбах, Р. Беллман.–М.: Издательство “Мир”, 1965.

5. Некоторые вопросы математического анализа и методики его преподавания: Сб. научн. статей [Text].– Киров: Изд-во ВГГУ, 2001.

6. Mericoski, J. K. Extending means of two variables to several variables [Text] / J. K. Mericoski. // J. Ineq. Pure and Appl. Math. 5(3), 2004, Article 65.