86416 (Обобщение классических средних величин), страница 2

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. и , x≠0;

7. , x>0

Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения , которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.

Зафиксируем точку х₀ из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства для любого r R.

, что возможно только при ;

для любого r N;

для r=0;

, но тогда и для любого r N, то есть равенство верно для всех целых r.

Далее пусть r Q или r=z/n, где p Z и q N. и поэтому , то есть равенство верно для всех рациональных r.

На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х₀ и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.

Если , то и , а так как , заключаем, что для любого r R.

Теперь , p R (если обозначить не зависящий от х множитель за p).

2. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению , то есть уравнению 1, и поэтому .

Точно так же , … , . Но искомое решение , p_i R.

3. Решим уравнение .

, откуда , и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению

, то есть .

Тогда .

4. Обратимся к уравнению .

Прежде всего заметим, что если при каком-либо x₀, то для любого x можно заключить , то есть .

Это одно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда . Но для положительной всюду можно определить функцию , которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению

, то есть . Откуда , где .

5. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому

, и поэтому

, то есть g(x) – чётная функция.

Очевидно, если g(x)≠0, то она не определена при х=0. Действительно, если существует g(0), то , откуда –тривиальное решение, существование которого очевидно. Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.

Определим функцию , где для любого х. G(x) непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению , то есть . Откуда , где . И с учётом чётного продолжения .

6. Уравнение также сведём к уравнению 1.

Прежде всего заметим, что если при каком-либо , то для любого x можно заключить , то есть –тривиальное решение. Далее , и так как для нетривиального решения, то из этого равенства следует, что .

Но тогда и g(–1)= 1.
Если , то , и g(x) – чётная функция. Если же , то , и g(x) – нечётная функция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получив тем самым два решения функционального уравнения.

При х>0 , так как – мы ищем нетривиальное решение. Поэтому можно определить функцию , которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению , то есть . Откуда .

И с учётом чётного и нечётного продолжений имеем два решения и , x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывности доопределить и в нуле, но для k<0 это сделать невозможно. Заметим, что при k=0 вторая функция есть , и мы получаем пример разрывного решения.

7. И уравнение решим, используя предыдущее уравнение.

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению , но тогда по доказанному для x>0 имеем (в этом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам не понадобится).

Аналогично, , … , . Но искомое решение

, p_i R.

1. Характеристическое свойство квази-средних

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений и соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно и . Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем далее в общем случае.

Заметим, что операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как , где , то есть функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функцией .

Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, , где – произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (– ;а), (– ;а], (b; ), [b; ), (– ; ), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и y из области определения функции . Сформулируем общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних [1].

Теорема 2. Квази-средние – это такие функции от n переменных, для которых выполнены условия:

1. непрерывность хотя бы в одной точке;

2. ;

3. .

Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого выведем вид функций , исходя из указанных условий.

Распишем уравнение , используя определение операции :

=

= ,

=

=

Далее, если определить и обозначить , , то последнее выражение перепишется так , где функция H непрерывна хотя бы в одной точке. Тогда единственной такой функцией будет , p_i R. Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём , p_i R.

Осталось показать, что и . Используем свойство усреднения найденного решения: .

Возьмём , но тогда или , и поэтому . А если предположить, что какое-то , то для и , имеем

= =

= , что противоречит условию.

Аналогично можно определить квази-средние вида .

Теорема 3. Квази-средние вида – это такие функции от n переменных, для которых выполнены условия:

1. непрерывность хотя бы в одной точке;

2. ;

3. рефлексивность, то есть ;

4. симметричность.

Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции , p_i R, далее свойство 3 обеспечивает , а из свойства 4 вытекает .

Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении . Например:

для среднего арифметического задающая его функция , и поэтому ;

для среднего геометрического , ;

для среднего гармонического , ;

для среднего квадратичного , .

1. Тождественные квази-средние

Квази-среднее определено, если задана функция . Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если для любых или и –тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции и также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних и является условие , где .

Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

, и поэтому

= или = для любых , то есть условие достаточно.

Обратно, пусть = , = или . Обозначая и , перепишем = .

Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку из области значений функции и представим . Тогда = или = . Полагая , где для каждого i, найдём = , где не зависит от .

Поэтому = , что с обозначениями , , перепишется так: .

Тогда решением этого функционального уравнения будет функция , , где . Так как , то , или , если взять .

Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее мы можем взять любую функцию из целого класса функций , где а≠0 и b – произвольные постоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.

1. Однородные квази-средние

Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение для любых не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные обладают однородностью. Теперь покажем, что других квази-средних с данным свойством не существует [2].

Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.

Доказательство. Предположим, что равенство имеет место, и выведем из него вид задающей квази-среднее функции . Перепишем или = . Получили тождественные квази-средние, заданные функциями и . В силу теоремы 4 имеем (*), где и – функции от λ, ≠0. Также мы можем положить .

Тогда . Подставляя теперь в (*) и заменяя λ на y, найдём, что (**). Аналогично .

Последние два равенства дают для x, y≠1 (***).

Отсюда следует, что функции в левой и правой частях (***) равны постоянной d, то есть .

Из (**) вытекает сейчас равенство , которое, очевидно, справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.

Итак, мы получили функциональное уравнение , рассматривая его, различаем два случая:

1) при d=0 , и поэтому для x>0 ;

2) при d≠0 полагая , сведём уравнение к , и поэтому для x>0 и .

В первом случае по теореме 4 о тождественных квази-средних можно заменить на , и тогда получаем среднее геометрическое, которое принято считать частным случаем среднего степенного при . Во втором, заменяя на – среднее степенное.

Следствие. Средние степенные – единственный класс квази-средних, удовлетворяющих сильному определению средней величины.

1. Аддитивные квази-средние

Рассмотрим ещё один класс квази-средних. Назовём свойство аддитивностью и найдём все квази-средние с данным свойством.