86413 (О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп), страница 3
Описание файла
Документ из архива "О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86413"
Текст 3 страницы из документа "86413"
Теорема 3.5. Тогда и только тогда 
– минимальная 
-замкнутая тотально насыщенная не 
-разложимая формация, когда 
, где 
– не -разложимая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через 
формацию всех -разложимых групп.
Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где – такая группа Шмидта, что 
. Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть , где – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации можно считать, что 
. Значит, 
, где 
– минимальная нормальная 
-подгруппа , а 
– группа простого порядка. Поскольку группа 
и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и 
её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда 
, где 
.
В случае, когда 
из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где – не -разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда 
, где 
– отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не 
-формации.
Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей 
совпадает с произведением 
(число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где 
– минимальная не -группа, 
– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в 
при всех 
и – группа простого порядка.
Доказательство. Обозначим через формацию .
Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация. По теореме 1 , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом 
, что выполняется одно из следующих условий:
1) 
– группа простого порядка 
;
2) 
– неабелева группа и 
, где 
– совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка 
, либо такая монолитическая -минимальная не 
-группа с неабелевым монолитом 
, что 
, совпадает с -корадикалом группы и
где 
– совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку 
, то случай 1) невозможен. Если группа неабелева, то по лемме 2.1 
, что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима, то , где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и – группа простого порядка.
Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда 
для некоторой последовательности 
из 
.
Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .
Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания 
-критических формаций и в случаях, когда формация не является тотально насыщенной.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не 
-формации.
Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением , где 
– класс всех нильпотентных, а 
– класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.
Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной. Однако содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда , где и – различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации конечных групп. При этом -замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией или -критической, если 
, но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп . Получено описание -критических формаций для таких классов групп , как классы всех -разрешимых, -нильпотентных, -замкнутых, -специальных, -разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей ( – некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.
