86413 (О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Основные результаты

Заключение

Литература

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].

При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].

В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.

Теорема 1 [10]. Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Теорема 2 [10]. Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:

1) , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

2) ,

где и ;

3) ,

где , а – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что совпадает с -корадикалом группы , и .

В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .

1. Определения и обозначения

Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию называют -кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной.

Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп , что: 1) ; 2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и

Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой, если для любой группы . -Замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .

Пусть – -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой, если , но для любой собственной подгруппы из .

Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп , т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают . Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным. Если – -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран.

Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:

1) ; 2) .

Последовательность простых чисел называют подходящей для , если и для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из , у которых при всех .

Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:

1) ; 2) .

В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.

2. Используемые результаты

Лемма 2.1 [9]. Пусть – монолитическая группа, – неабелева группа. Тогда имеет единственную максимальную -подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности, .

Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть , где – непустой класс групп. Тогда если – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:

1) ;

2)

при всех простых числах ;

3) если – произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].

Лемма 2.3. Пусть , – -замкнутые тотально насыщенные формации, , – канонический экран формации . Тогда является -критической формацией в том и только в том случае, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.

3. Основные результаты

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп .

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.

Напомним, что группу называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.

Достаточность. Пусть , где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.

Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

Если – тривиальный подгрупповой функтор, т.е. из теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.