86413 (589984), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.

В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем

Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.

Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная неразрешимая группа.

Если – совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем

Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева -группа.

Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – простая неабелева группа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.

Группа называется -нильпотентной, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где – не -нильпотентная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть формацию всех -нильпотентных групп.

Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому – абелева -группа, где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому , где – группа простого порядка. Таким образом, – не -нильпотентная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где – не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа группы , а – группа простого порядка . Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то – -минимальная не -нильпотентная группа и – -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.

Используя теорему 2, получим

Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где и – различные простые числа, .

В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают

Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где – не -нильпотентная группа Шмидта.

Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где – отличное простое число.

Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем

Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.

Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и – различные простые числа.

Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда , где и – различные простые числа.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.

Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где – не -замкнутая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.

Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Так как , то . Если – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем . Значит, Противоречие. Поэтому – абелева -группа, где . Значит, для некоторой максимальной подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем, что – -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то – группа простого порядка . Таким образом, – не -замкнутая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где – не -замкнутая группа Шмидта. Так как – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , , – группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то – -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где и .

В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает

Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где – не -замкнутая группа Шмидта.

Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где – отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.

Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где – не -специальная группа Шмидта.

Доказательство. Пусть обозначает формацию всех -специальных групп.

Необходимость. Если – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1) – группа простого порядка ;

2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и

где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

Поскольку , то случай 1) не имеет место и . Если – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем . Поэтому и . Пусть и . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение . Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, – абелева -группа. Так как имеют место равенства , то , где – группа порядка . Таким образом, – не -специальная группа Шмидта.

Достаточность. Пусть , где – не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где и – различные простые числа, .

В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает

Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где – не -специальная группа Шмидта.

Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где – отличное от простое число.

Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.

Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.

Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Характеристики

Список файлов ВКР