86412 (О категории множеств), страница 2

Определение: Объекты a и b называются изоморфными в Ω (символически ab), если существует Ω – стрелка f:ab, являющаяся изострелкой в Ω, т.е. f: ab.

• Произвольные Ω – объекты обладают следующими свойствами:

1. aa

2. если ab, то ba

3. если ab и bс, то ac

Доказательство:

1. в любой категории существует стрелка 1_a: aa (по определению категории). Единичная стрелка является изострелкой (доказано выше). Получаем, что aa (по определению изоморфных объектов).

2. ab f :ab и f – изострелка f ^–1: ba (по определению изострелки). Ранее доказано, что если f - изострелка, то и f ^–1 – изострелка. Т.е. f ^–1: ba – изострелка ba (по определению изоморфных объектов).

3. ab f :ab – изострелка.

bс g :bc – изострелка.

Dom g=cod f g f: ac и g f – изострелка (т.к.f и g – изострелки (доказано выше)). Чтобы доказать, что ac, необходимо найти изострелку t: ac. Возьмем в качестве такой изострелки t изострелку g f. Ч.т.д.

1.5. Начальные объекты

Определение: объект 0 называется начальным в категории Ω, если для каждого объекта а из Ω существует одна и только одна Ω – стрелка из 0 в а.

• Любые два начальных объекта изоморфны в Ω.

Доказательство:

Предположим, что 0 и 0’- начальные объекты. Требуется доказать, что 00’. Для этого необходимо найти изострелку 00’.

Существуют единственные стрелки f: 0’0 (т.к.0’ - начальный объект) и g: 00’ (т.к. 0 – начальный объект). Dom f=cod g f g: 00. 0 – начальный объект ! стрелка 00. и по определению категории для каждого Ω – объекта единичная стрелка. Значит стрелка 1₀: 00 и стрелка f g:00 совпадают. Аналогично, стрелка g f:0’0’ совпадает со стрелкой 1_0’. Тогда g имеет обратную стрелку (а именно f), т.е. g: 00’. Ч.т.д.

1.6. Конечные объекты

Обращая направление стрелок в определении начального объекта, получаем следующее определение.

Определение: объект 1 называется конечным в категории Ω, если для каждого Ω – объекта а существует одна и только одна стрелка из а в 1.

• Все конечные объекты изоморфны.

Доказательство:

Предположим, что 1 и 1’ – конечные объекты. Требуется доказать, что 11’. Для этого надо найти изострелку 11’.

Объект 1 – конечный ! f: 1’1 (по определению конечного объекта).

Объект 1’ - конечный ! g:11’ ( по той же причине). Dom f=cod g f g :11.

1 – конечный объект. f g: 11 – единственная.

С другой стороны для любого объекта категории существует единичная стрелка 1₁:11. Значит f g=1₁. Аналогично, g f=1_1’. Таким образом, для стрелки g нашлась обратная (а именно f), т.е.g: 11’. Ч.т.д.

• Стрелка f:1a – мономорфна.

Доказательство:

F: 1a – мономорфна, если для любых стрелок g,h:b1 из того, что f g=f h следует, что g=h. Но по определению конечного объекта, существует только одна стрелка b1. Поэтому равенство стрелок g и h следует автоматически.

1.7. Двойственность

Можно заметить, что понятие эпистрелки получается из определения монострелки «обращением стрелок». То же справедливо для понятий конечного и начального объектов. Эти два примера иллюстрируют понятие двойственности в теории категорий.

Если - предложение категорного языка, то двойственным ^ор назовем предложение, получаемое из заменой «dom» на «cod», «cod» на«dom» и «h=g f» на «h=f g». Таким образом, все стрелки и композиции, входящие в ,повернуты в ^ор в другую сторону. Понятие, описываемое предложением ^ор называется двойственным к понятию, описываемому . Для данной категории Ω построим двойственную категорию Ω^ор следующим образом.

Категории Ω и Ω^ор имеют одни и те же объекты. Для каждой f:ab вводим Ω- стрелку f^op:ba (свою для каждой f). Так получаемые стрелки и счерпывают все стрелки категории Ω^ор. Композиция f^opg^op определена тогда и только тогда, когда определена в Ω композиция gf и f^opg^op=(gf)^op. Dom f^op=cod f и codf^op=dom f.

Конструкцию, двойственную к выражаемой предложением , можно интерпретировать как первоначальное построение, примененное к двойственной категории. Если истинно в Ω, то ^ор истинно в Ω^ор. Т.о. из произвольного истинного в теории категорий предложения получается другое истинное предложение ^ор. В этом состоит принцип двойственности. Принцип двойственности сокращает количество доказательств вдвое. Так, доказав, что два произвольных начальных объекта изоморфны, можно сразу утверждать, что два произвольных конечных объекта изоморфны.

1.8. Произведения

Как охарактеризовать произведение двух множеств

с помощью стрелок. Неужели это можно сделать без какого-то использования упорядоченных пар?

Оказывается это возможно. Способ, позволяющий избежать использования упорядоченных пар, даст возможность выяснить, что такое конструкция в теории категорий.

Поставим в соответствие произведению два специальных отображения (проекции)

и , задаваемые равенствами , .

Д опустим теперь, что задано ещё одно множество С с парой отображений f: CA, g: CB. Определим отображение p: C правилом p(x)= ,

Тогда p_А(p(x))=f(x) и p_B(p(x))=g(x) для каждого хС. Таким образом, p_Ap=f и p_Bp=g, т.е. приведенная выше диаграмма коммутативна. Более того, p является единственной стрелкой, для которой эта диаграмма коммутативна. Действительно, если p(x)=y,z, то в силу условия p_Ap=f будет p_A(p(x))=f(x), т.е. y=f(x). Аналогично, если p_Bp=g, то z=g(x).

Отображение p, построенное по f и g, обозначаются обычно через f,g и называется произведением отображений f и g.

Эти рассмотрения служат мотивировкой для следующего определения.

О пределение: произведением в категории Ω двух объектов a и b называется Ω-объект, обозначаемый через , вместе с парой (pr_a: a, pr_b: b) Ω- стрелок, такой, что для произвольной пары (f:ca, g:cb) Ω- стрелок существует одна и только одна стрелка :c , для которой диаграмма коммутативна, т.е. pr_a=f и pr_b=g. Стрелка называется произведением стрелок f и g относительно проекций pr_a,pr_b.

• <pr_a,pr_b>=1 .

Д оказательство: изобразим данную ситуацию на диаграмме.(точнее левую часть доказываемого равенства). Видим, что стрелка a,pr_b> переводит объект в объект . А по определению категории существует только одна единичная стрелка (та, которая переводит объект категории в себя). Значит, эти стрелки совпадают. Ч.т.д.

• Если <f,g>=<k,h>, то f=k и g=h.

Доказательство: разберемся с условием утверждения.

1. Стрелка существует по условиюdomf=domg. Пусть f:ca, g:cb. тогда стрелка :c .

2. Стрелка совпадает со стрелкой по условию. dom=dom=c, cod=cod= . стрелки k,h такие, что domk=domh=c, а концы этих стрелок в объектах a и b.

3. Предположим, что k:cb, h:ca. Если это так, то стрелка :c . Тогда , так как у них не совпадают концы.

4. Получили противоречие после того, как предположили, что k:cb, h:ca. остается один вариант: k:ca, h:cb. значит f=k, g=h. Ч.т.д.

• =h

Д оказательство: Посмотрим, что означает стрелка . Во-первых: композиция двух стрелок существует, когда конец одной стрелки является началом другой. Из условия следует, что domf=codh и domg=codh, а также dom=codh. Т.е. стрелки f, g, имеют одно и то же начало. Пусть h: dc, g:cb, f:ca. Изобразим диаграмму: эта диаграмма коммутативна, т.е. pr_ah=fh и pr_bh=gh. Произведением стрелок fh, gh является однозначно-определенная стрелка (она единственна по определению произведения). И этой стрелкой является композиция стрелок и h.

1.9. Произведение отображений

Для данных теоретико-множественных функций f:AB и g:CD определим функцию . является произведением двух композиций: и . Поэтому дадим следующее определение.

О пределение: если f:ab и g:cd – две Ω-стрелки, то через обозначим Ω-стрелку .

Д оказательство: представим ситуацию диаграммой. По определению произведения стрелок стрелка : , и эта стрелка единственна. А по определению категории, у каждого объекта существует единичная стрелка, т.е. та, которая переводит объект в себя. Значит стрелки и совпадают. Ч.т.д.

Д оказательство: для того, чтобы доказать изоморфизм двух объектов, необходимо найти изострелку. В нашем случае изострелку f: . Для существования произведения необходимо иметь две стрелки. Пусть g:ab, h:ba. тогда : . Эта стрелка единственна по определению произведения. Изобразим диаграмму.

А теперь рассмотрим стрелку . Предположительно, эта стрелка является обратной к стрелке . (эта стрелка тоже единственна по определению произведения). Действительно, композиция ( )( ): . Так как стрелки и - единственны, то и их композиция есть единственная стрелка. А по определению категории, каждый объект имеет единичную стрелку. Поэтому, ( )( )= . Аналогично ( )( )= . Значит, по определению изострелки, стрелка является изострелкой. (по определению изоморфности двух объектов). Ч.т.д.

Доказательство: для доказательства этого утверждения построим диаграмму.

Стрелка _{: . Если рассмотреть подобную диаграмму (в которой ), то получим стрелку . Эта стрелка является обратной к стрелке . (проверяется аналогично). Значит - изострелка.} . Ч.т.д.

Доказательство:

1. так как существует композиция , то dom =cod .

2. Так как существует стрелка , то domg=domk.

3. Из существования стрелки следует, что dom(fg)=dom(hk), domf=codg, domh=codk.

4. Изобразим диаграмму. Композиция :с _.

5. :с _{. А по определению произведения объектов стрелка} - единственна. Значит стрелки и совпадают. Ч.т.д.

1.10. Копроизведение объектов

Понятие копроизведения, или суммы объектов, является двойственным к понятию произведения. Его определение получается непосредственно из определения произведения по принципу двойственности.