МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

О КАТЕГОРИИ МНОЖЕСТВ

Выполнила студентка V курса

математического факультета

Одегова В.Н.

/ подпись/

Научный руководитель:

Доктор ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е.М.

/подпись/

Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермных В.В.

/ подпись/

Допущен к защите в ГАК

З ав. кафедрой Вечтомов Е.М.

(подпись)

2 003г.

Д екан факультета Варанкина В.И.

(подпись)

2 003г.

Киров, 2003г.

введение 3

1 Основные понятия теории категорий 4

1.1. Мономорфные стрелки 6

1.2. Эпиморфные стрелки 7

1.3. Изострелки 8

1.5. Начальные объекты 10

1.6. Конечные объекты 10

1.7. Двойственность 11

1.8. Произведения 12

1.9. Произведение отображений 15

1.10. Копроизведение объектов 18

2 категориЯ множеств 19

2.1. Мономорфизм в категории множеств 20

2.2. Эпиморфизм в категории множеств 21

2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств 23

2.4. Произведение в категории множеств 23

2.5. Копроизведения в категории множеств 24

3 Примеры категорий 24

3.1. Категория 1 24

3.2. Категория 2 25

3.3. Категория 3 25

3.4. Категории предпорядка 26

3.5. Дискретные категории 26

3.6. Категория N 27

Литература 28

введение

Сейчас многие отрасли математики используют теоретико-множественные обозначения. Несомненно, теория множеств сыграла огромную роль в развитии математики. У этой теории можно найти много преимуществ, но в этой дипломной работе речь пойдет не об этом. Развитием теории множеств можно считать теорию категорий. Что такое «теория категорий». Это очень привлекательная и естественная альтернатива теории множеств. Конечно, можно мыслить объекты математического изучения как множества, но нет уже уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления новой альтернативы.

В данной дипломной работе рассматривается одна из важнейших категорий в математике – категория множеств. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории категорий. Доказываются необходимые свойства и утверждения.

Во втором параграфе рассматривается категория множеств. Те понятия, которые используются в теории категорий, переносятся непосредственно в эту категорию. Интерпретируются теоремы из теории категорий в категорию множеств.

В третьем параграфе приведены другие примеры категорий. Тем самым показаны выразительные возможности теории категорий.

Теория категорий изложена в книгах [1]-[4].

1 Основные понятия теории категорий

Для того чтобы проиллюстрировать формализацию интуитивной математической идеи рассмотрим понятие функции.

Функция – есть связь между объектами. Точнее, это – соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект.

Если А – множество всех возможных входов функции f, а В – множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: AB.

Множество А называется областью определения, а множество В – областью значений.

В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).

Выполняются следующие свойства:

1. C каждой стрелкой связано два специальных объекта – её начало и конец.

2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, › стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚, также принадлежащую данной категории.

3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

Итак, дадим аксиоматическое определение категории.

Категория Ω включает в себя:

1) Совокупность предметов, называемых Ω - объектами

2) Совокупность предметов, называемых Ω-стрелками

3) Операции, ставящие в соответствие каждой Ω-стрелке f Ω-объект dom f (начало стрелки f) и Ω-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: ab

4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, › Ω-стрелок с dom g=cod f Ω-стрелку g˚, композицию f и g, с dom (g˚)=dom f и cod(g˚)=cod g, причем выполняется следующее условие:

закон ассоциативности:

пусть f: ab

g: bc

h: cd

т огда h ˚(g˚)= (h ˚g)˚.

Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -

-коммутативна.

( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма – это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)

5) Сопоставление каждому Ω-объекту b Ω-стрелки 1_b: bb, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:

д ля любых Ω-стрелок f:ab и g:bc 1_b ◦f=f и g◦1_b =g, т.е. коммутативна диаграмма

1.1. Мономорфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab в категории Ω называется мономорфной или монострелкой в Ω, если для любой пары g,h: ca Ω-стрелок из равенства f g=f h следует g=h.

• В произвольной категории композиция gf является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.

Доказательство:

В оспользуемся определением монострелки:

С трелка gf:ac является монострелкой, если для любых стрелок l,m:ba если (gf)l=(gf)m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (gf)l=(gf)m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g(fl)=g(fm).

g – монострелка f l=f m

f – монострелка l=m, что и требовалось доказать.

• В произвольной категории, если композиция g f – мономорфна, то и f – мономорфна.

Доказательство: пусть f: ab

g: bd,

l, m: ca

f – мономорфна, если из равенства f l=f m ()следует, что l=m.

О чевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f l) = cod(f m), применим к равенству () стрелку g. Получаем g(f l)=g(f m). Далее, по ассоциативному закону:

( gf)l=(gf)m.

gf – монострелка l=m, что и требовалось доказать.

1.2. Эпиморфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab называется эпиморфной или эпистрелкой в категории Ω , если для произвольной пары стрелок g,h: bc из равенства gf=hf следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.

• Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.

Доказательство: пусть f: ab

g: bc,

l, m: cd

g – эпистрелка, если из равенства l g=m g ()следует, что l=m.

О

b

чевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что codf = dom(l g) = dom(m g), применим к равенству () стрелку f. Получаем (l  g)°f=(m  g)°f. Далее, по ассоциативному закону:

l (gf)=m(gf).

gf – эпистрелка l=m, что и требовалось доказать.

1.3. Изострелки

Определение: произвольная стрелка f: ab называется изострелкой или обратимой в категории Ω стрелкой, если существует Ω- стрелка g:ba, такая, что gf=1_a и fg=1_b. На самом деле такая стрелка только одна. Действительно, если предположить, что существует ещё одна такая стрелка g’, то g’=1_ag’=(gf)g’=g(fg’)=g1_b=g. Стрелка g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается f ^-1:ba. Она определяется условиями: f ^-1f=1_a, f f ^-1=1_b .

• Любая изострелка является эпистрелкой.

Доказательство: пусть f: ab – изострелка, и стрелки g,h: bc.

Тогда g f=h f и существует f ^-1 . Тогда g = g 1_b = g (f f^-1) =(ассоциативность)= (g f) f^-1 = (hf)f^-1=h (f f ^-1)=h 1_b=h. Таким образом, f – сократима справа. Ч.т.д.

• Любая изострелка является монострелкой. (доказательство аналогично предыдущему).

• Любая изострелка является бистрелкой (эпи и монострелкой ).

Доказательство: следует из предыдущих двух утверждений.

• Каждая единичная стрелка является изострелкой.

Доказательство: Пусть f: aa – единичная стрелка. Существует стрелка f ^–1 : aa и f ^–1 f=1_a, f f ^–1=1_a . f – изострелка. Ч.т.д.

• Если f – изострелка, то f ^–1 – изострелка.

Доказательство: пусть f: ab – изострелка. Тогда f ^–1: ba. f – изострелка f f ^–1=1_b, f ^–1 f=1_a. f ^–1 – изострелка. Ч.т.д.

• Если f, g – изострелки, то f g – изострелка, при этом (f g)^- 1 = g^–1f^{- 1}

Доказательство: пусть f: bc, g: ab. f g: ac. f,g- изострелки f ^–1: cb и g ^–1: ba g ^–1f ^–1 :ca. Эта композиция является «подозрительной» на обратную к стрелке f g. Проверим это:

1. (g ^–1f ^–1)(f g)=(ассоциативность)=g ^–1(f ^–1f g)=g^–1(1_bg)=g^–1 g=1_a.

2. (f g )g ^–1 f ^–1=f (g g ^–1f ^–1)=f (1_bf ^–1)=f f ^–1=1_c.

fg- изострелка и (f g)^-1=g ^–1f ^–1 .Ч.т.д.

1.4. Изоморфные объекты