86397 (Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку), страница 3

2016-07-29СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "86397"

Текст 3 страницы из документа "86397"

Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) - нестійкий вузол.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.

Таблиця 2.

d

N1

N2

N3

(-∞; 0)

сідло

невуст. вузол

вуст. вузол

сідло

сідло

вуст. вузол

невуст. вузол

(0; +∞)

сідло

вуст. вузол

невуст. вузол

сідло

сідло

вуст. вузол

невуст. вузол

Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).

Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.

а (d0) б (d0)

Мал.2

2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , . Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) - (1.53). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:

(2.15)

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

(2.16)

(2.17)

Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюються в прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однієї із прямих інтегральній кривій (2.17).

Знайдемо стани рівноваги системи (2.15). Дорівнявши праві частини системи нулю, і виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:

(2.18)

З (2.18) одержуємо, що

, , .

Ординати крапок спокою мають вигляд:

, , .

Отже, маємо крапки

, , .

Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги .

Досліджуємо стан рівноваги в крапці .

Складемо характеристичне рівняння.

Звідси

(2.19)

Отже, характеристичне рівняння прийме вид

Маємо

,

Або

.

Характеристичними числами для крапки для системи (2.15) будуть

.

Коріння - комплексні й залежать від параметра d. Виходить, якщо d0, то крапка - стійкий фокус, якщо d0, то крапка - нестійкий фокус. Досліджуємо крапку

.

Згідно (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці

.

Маємо

.

Характеристичними числами для крапки системи (2.15) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.

3. Досліджуємо крапку .

По (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці .

Одержимо

.

Вирішуючи рівняння, одержимо

,

тобто

,

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо do, то крапка - нестійкий вузол, якщо d0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.15) переводить у систему:

(2.20)

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі u, тобто при z=0. Одержуємо

Отже

Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).

Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).

(2.21)

.

Отже

, ,

Скористаємося паралельним переносом

і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо нову систему:

(2.22)

Складемо характеристичне рівняння в крапці N2 (0,-2)

Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2), будуть , - складний стан рівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) - ізольований стан рівноваги системи:

(2.23)

де , є поліноми від x,y починаючи із другого ступеня, - рішення рівняння , а розкладання функції має вигляд:

Тоді

1) при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічний вузол;

при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічне сідло;

при m - парному крапка (0,0) є сідло - вузол, тобто такий стан рівноваги, канонічна околиця якого складається з двох гіперболічних секторів. При цьому:

якщо m0, то усередині гіперболічних секторів укладений відрізок позитивної півосі OX, що примикає до крапки (0,0);

якщо m0, то відрізок негативної півосі OX.

Щоб скористатися теоремою, необхідно систему (2.22) привести до виду:

Це можна зробити, скориставшись одним з наступних перетворень [2, с. 199-201]:

якщо ,

якщо , ,

якщо , ,

де a, b, c, d - коефіцієнти системи (2.23).

Тоді для системи (2.22) візьмемо наступне перетворення:

Одержимо

Тоді

(2.24)

Знайдемо рішення рівняння:

у вигляді ряду по ступенях Z1:

,

Отже

Тоді

Підставляючи U1 у систему (2.24) одержимо:

Звідси

, 0.

Отже, по теоремі 2.1 одержуємо, що крапка N2 (0,-2) - сідло - вузол.

Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.15) у систему:

(2.25)

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0)

Відповідно характеристичними числами будуть

Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка N3 (0,0) - стійкий вузол.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 3.

Таблиця 3.

d

N1

N2

N3

(-∞; 0)

вуст. фокус

сідло

невуст. вузол

сідло

сідло-вузол

вуст. вузол

(0; +∞)

невуст. фокус

сідло

вуст. вузол

сідло

сідло-вузол

вуст. вузол

Положення кривих (2.16), (2.17) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.3 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.6 (а, б) додатка В: Поводження траєкторій системи (2.15).

Питання існування граничних циклів залишається відкритим.

а (d (0)

б (d (0)

Мал.3


Висновок

У даній дипломній роботі побудована квадратична двовимірна стаціонарна система за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола. При цьому коефіцієнти кривих виражаються через довільний параметр системи.


Список джерел

1. Баутин Н.Н. Про число граничних циклів, що з'являються при зміні коефіцієнтів зі стану рівноваги типу фокуса або центра. - К., 1998

2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методи й прийоми якісного дослідження динамічних систем на площині. - К., 2004

3. Бендиксон І. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2006

4. Биркгоф Дж.Д. Динамічні системи. - К., 2003

5. Воробйов А.П. До питання про цикли навколо особою крапки типу “вузол". - К., 2002

6. Еругин Н.П. Побудова всього множини систем диференціальних рівнянь, що мають задану інтегральну криву. - К., 2003

7. Пуанкаре А. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2004

8. Серебрякова Н.Н. Якісне дослідження однієї системи диференціальних рівнянь теорії коливань. - К., 2005

9. Филипцов В.Ф. До питання алгебраїчних інтегралів однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2003

10. Черкас Л.А. Про алгебраїчні рішення рівняння , де P і Q - багаточлени другого ступеня. - К., 2000

11. Яблонський А.І. Алгебраїчні інтеграли однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2000


Додатки

Додаток А

Поводження траєкторій системи (2.1)

а) (d<0)

б) (d>0)

Мал.4

Додаток Б

Поводження траєкторій системи (2.8)

а) (d<0)

б) (d>0)

Мал.5

Додаток В

Поводження траєкторій системи (2.15)

а) (d<0)

б) (d>0)

Мал.6

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее