(1.37)

(1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) - (1.31).

Нехай

(1.39)

З першого рівняння системи (1.39) знайдемо

, .

Підставляючи в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:

(1.40)

Оскільки , те розглянемо два випадки: , тоді .

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, , (1.41)

, , , , (1.42)

Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

1 (1.43),2 (1.44)

3 (1.45), (1.46)

(=0 (1.47)

(1.48),

(1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) - (1.42).

б) (1.50), (1.51)

З (1.50) знайдемо :

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) - (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, - будь-яке число, (1.52)

, , , , (1.53)

Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

(1=0 (1.54), 2 (1.55)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

(1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) - (1.53).

2. Якісне дослідження побудованих класів систем

2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , , .

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:

(2.1)

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

(2.2)

(2.3)

Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:

(2.4)

З (2.4) одержуємо, що

, , , .

Ординати крапок спокою мають вигляд:

, , , .

Отже, маємо крапки

, , , .

Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги , , , .

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

Звідси

, (2.5)

,

Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

= =0.

,

Або

.

Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть

.

Коріння - дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.

Досліджуємо крапку

.

Складемо характеристичне рівняння в крапці

.

Згідно

рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:

,

Або

.

Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть

,

тобто

, .

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка - нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо крапку .

Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці

:

Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть , тобто , . Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - стійкий вузол, якщо d0, то крапка - нестійкий вузол.

Досліджуємо крапку

.

Складемо характеристичне рівняння в крапці

.

Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:

,

Або

Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть

,

тобто

, .

Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка - сідло.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення

[7]

переводить систему (2.1) у систему:

(2.6)

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку . Складемо характеристичне рівняння в крапці .

Одержимо, що

Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка - стійкий вузол.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:

(2.7)

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:

Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.

Таблиця 1.

Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).

Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.

а (d (0)

б (d (0)

Мал.1

2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:

(2.8)

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

(2.9)

(2.10)

Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)

1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю

Розглянемо два випадки:

Одержуємо:

З першого рівняння знайдемо y:

і підставляючи y у друге рівняння одержимо:

Вирішуючи це рівняння, знаходимо:

.

Отже, одержуємо

,

,

Отже, одержуємо крапки

, , ,

і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).

2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

Звідси

(2.11)

Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка - сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці :

Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , .

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - нестійкий вузол, а якщо d0, то крапка - стійкий вузол.

3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)

.

Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть

,

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - стійкий вузол, якщо d0, то крапка - нестійкий вузол.

4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:

Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже - сідло. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] переводить систему (2.8) у систему:

(2.12)

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:

Отже .

Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.

Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).

(2.13), . Маємо:

, .

Коріння - дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) - сідло.

Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:

, .

Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) - стійкий вузол.

Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:

(2.14)

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):

,