86214 (Многомерная геометрия), страница 8

.

§ 9. K-шары в пространстве

Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n – 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n – 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.

Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии , называется k-шаром. При k = n n-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии . В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.

Если центр сферы – точка М₀(х₀), а радиус равен R (рис. 31), радиус-вектор х произвольной точки М сферы связан условием, состоящим в том, что расстояние М₀М равно R. Так как это расстояние равно модулю вектора , т. е. _{, то уравнение сферы с центром в точке} М_0, и радиусом R имеет

_{(9. 1)}

_{или, после возведения обеих частей уравнения (9. 1) в квадрат}

_{(9. 2)}

_{Рис. 31}

_{Уравнению (9. 2) не удовлетворяет радиус-вектор ни одной точки, для которой расстояние} М₀М не равно R, так как и расстояние М₀М и радиус R – положительные числа.

_{Уравнение (9. 2) называется векторным уравнением сферы. Это уравнением сферы. Это уравнение является частным случаем векторного уравнения поверхности. Поэтому сфера является частным случаем уравнения поверхности, так как k-сферу можно рассматривать как сферу в (k + 1)-пространстве.}

_{Так как k-сфера с центром в точке М0(х0) и радиусом в некоторой (k + 1)-плоскости является пересечением сферы с тем же центром и радиусом с указанной (k + 1)-плоскостью, уравнениями k-сферы является уравнение (9. 2) сферы с тем же центром и радиусом и уравнения (k + 1)-плоскости.}

_{Если центр сферы находится в начале,} х₀=0, то уравнение (9. 2) примет вид

_{(9. 3)}

Уравнение (9. 2) можно переписать в виде

_{(9. 4)}

_{или, умножая обе части этого равенства на число а, в виде}

_{(9. 5)}

_{Вектор и число с в уравнении (9. 5) связаны с радис-вектором х0 центра сферы и её радиусом R соотношениями}

_{, (9. 6)}

_{Поэтому, если дано уравнение (9. 5) сферы, то центр и радиус этой сферы определяются соотношениями.}

_{, (9. 7)}

_{Уравнение (9. 5) при а = 1, т. е. уравнение}

_{(9. 8)}

_{называется нормальным уравнением сферы. В случае нормального уравнения сферы соотношения (9. 7) показывает, что, для того чтобы уравнение (9. 5) было уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства}

_{(9. 9)}

_{В случае, когда , уравнению (9. 5) удовлетворяет только одна точка} М₀(х₀), которую можно рассматривать как сферу нулевого радиуса. Для того, чтобы общее уравнение второй степени было бы уравнением сферы, необходимо выполнение неравенства, равносильного неравенству (9. 9).

Геометрия k-сфер

1. Уравнение k-сфер

Определим k-сферы как пересечения сферы с (k+1)-плоскостью. Так как (k+1)-плоскость в свою очередь является пересечением n – k – 1 плоскостей, а каждая из этих плоскостей может быть заменена такой сферой, что указанная плоскость является радикальной плоскостью для этой сферы и данной сферы, k-сфера является пересечением n – k независимых сфер. Поэтому k – сферу можно задать n – k – уравнениями

_{В этом случае произвольная сфера, проходящая через данную k-сферу, определяется уравнением}

_{(9. 10)}

_{При k = n – 2 совокупность сфер с уравнениями вида (9. 10) составляет пучок сфер.}

_{Если даны две сферы}

_{, ,}

_{то совокупность сфер с уравнениями}

_{называется пучком сфер,}

_{содержащем две сферы.}

_{Уравнение при является уравнением плоскости.}

_{Взаимное расположение двух k-сфер}

Две k-сферы k-пространства без общих точек будем называть зацепленными, если всякая сфера, проходящая через одну из этих k-сфер, пересекается со всякой сферой, проходящей через другую k-сферу. Будем называть две k-сферы k-пространства без общих точек незацепленными, если существуют непересекающиеся сферы, проходящие через эти k-сферы.

На рисунке изображены различные виды взаимного расположения двух окружностей в 3-пространстве.

а) зацепление б) пересечение в точке

в) незацепление

Рис. 32

Объём сферы

Объём сферы радиуса r, который будем обозначать S_k, выражается интегралом

,

в котором переменное изменяется от 0 до 2, а переменные (при i > 1) от до поэтому этот интеграл равен произведению k интегралов

тогда объём S_k сферы радиуса r в k-пространстве при чётном n равен:

(9. 11)

и для n чётного:

Формулы объёма дают при k = 2 (считая 0!! = 1), 3, 4 и 5 соответственно.

, .

Объём шара

Объём шара радиуса r, который будем обозначать V_k, выражается интегралом

который с помощью интеграла (9. 11) для вычисления объёма сферы S_k может быть записан в виде

Поэтому объём V_k шара радиуса r в k-пространстве при чётном и нечётном n соответственно равен

, (9. 12)

Формула (9. 12) дает при k = 2, 3, 4, 5 соответственно

, , , (9. 13)

Глава III. Применения многомерной геометрии

§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)

В чём состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трёхмерного мира до столь далёких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы необходимо рассмотреть несколько примеров задач.

Пример 1. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Рис. 33

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путём, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.

Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматривая числа х, у, удовлетворяющие условию х + у = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов х² + у² будет наименьшей. Уравнение х + у = 1 определяет на координатной плоскости прямую (рис. 33). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка А). Если точка М(х, у) прямой l отлична от А, то она лежит вне окружности S и поэтому | ОМ| больше радиуса r этой окружности, т. е. . Если же М = А, то сумма х² + у² равна r, т.е. именно для точки А эта сумма принимает наименьшее значение. Точка А имеет координаты х = у = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи при (n = 2).

Рис. 34

Пусть n = 3. Уравнение x + y + z =1 определяет в пространстве плоскость L. Рассмотрим сферу S c центром в начале координат, касающуюся этой плоскости в некоторой точке А (рис. 34). Для любой точки , отличной от А, её расстояние от точки О больше радиуса r сферы S, и поэтому , при М = А имеем .

Таким образом, именно для точки А сумма принимает наименьшее значение. Точка А имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: , и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной). А так как x + y + z =1, то точка А имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n=3).

Рассмотрим произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (х₁, х₂, …, х_n), состоящие из n действительных чисел. Уравнение определяет в этом пространстве «плоскость» L, имеющую размерность n – 1 (гиперплоскость в n-мерном пространстве). Рассмотрим сферу S с центром в начале координат О, касающуюся гиперплоскости L в некоторой точке А. Все точки гиперплоскости L, кроме А, лежат вне сферы S, т. е. находятся от начала координат О на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма принимает наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости L. Заметим теперь, что все координаты точки А равны между собой: (поскольку поворот пространства, переставляющий оси координат: , и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной), откуда . Итак, при сумма квадратов принимает наименьшее значение для .

Пример 2. На три завода З₁, З₂, З₃ (рис. 35) нужно завести сырьё одинакового вида, которое хранится на двух складах С₁, С₂ в соответствии с данными, указанными в таблице.

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т. е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.