86214 (Многомерная геометрия), страница 7

Определение. Выпуклая оболочка системы точек , находящихся в общем положении, называется -мерным симплексом с вершинами .

Симплекс с вершинами при . При этом числа называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор .

Частные случаи:

нульмерный симплекс – одна точка;

одномерный симплекс - отрезок;

двумерный симплекс – треугольник;

трехмерный симплекс – треугольная пирамида.

Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой , называется центром симплекса.

Пусть - симплекс с вершинами ; и пусть - какой-нибудь из его вершин. -мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин называется -мерной гранью симплекса . Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.

Две грани размерности и - называются противоположными гранями симплекса , если они не имеют общих вершин.

В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.

Докажем, что -мерный симплекс в -мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе .

Пусть - вершины симплекса . Примем за начало координат, базис выберем следующим образом:

, , …, .

Тогда соотношения при в координатах примут вид

(7.13)

откуда следует, что

(7.14)

С другой стороны, из (7.14) вытекает (7.13),если положить для , . Таким образом, системы (7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс . (при =3).

Рис. 26

Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс .

Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.

Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».

В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с -симплексами в пространстве.

§8. K-симплексы в пространстве

1. Симплексы

Если заданы точек не лежащих в одной ( ) –плоскости, то точки, определяемые радиус-векторами

, (8.1)

где индекс пробегает значения от 0 до , а параметры связаны условием

(8.2)

образуют - симплекс с вершинами , который будем называть - симплексом .На рисунке 23 а, б, и в изображен 2 - симплекс (треугольник) 3 – симплекс (тетраэдр) и 4 – симплекс .

Рис. 27

Грани симплекса.

Если в уравнении (8.1) один из параметров равен 0, получаем - симплекс, называемый гранью - симплекса. Грани этих - симплексов называются - гранями - симплекса, грани этих -симплексов называются - гранями - симплекса и т.д. Таким образом, - симплекс обладает - гранями, где пробегает значения от 0 до ; 0 – грани - симплекса совпадают с его вершинами, 1-грани называются ребрами (при - сторонами). На рисунке 3, а стороны треугольника – 3 отрезка ; на рисунке 3, б ребра тетраэдра - 6 отрезков , 2–грани-4треугольника А₀А₁А₂, ; на рисунке 3, в - ребра 4 – симплекса - 10 отрезков , , , 2 – грани - 10 треугольников , , , , , , , 3-грани - 5 тетраэдров , , , , .

Если представим векторы в виде , то формулу (1) можно переписать в виде , где параметры ограничены условиями 0 , .

Так как любая система вершин - симплекса определяет - грань симплекса, число - граней симплекса равно числу сочетаний из по , т.е. = . (8.3)

1. Объем симплекса.

Прежде всего покажем, что объем произвольного - симплекса выражается через объем одной из его - граней и расстояния от вершины, лежащей против этой грани, до плоскости этой грани по формуле

. (8.4)

Е сли будем называть выделенную -грань - симплекса его основанием, а расстояние - его высотой, то формула (8.4) показывает, что объем - симплекса равен произведение его основания на высоту. Пусть основание k – симплекса (на рисунке 28 изображается при )

Проведем плоскость, параллельную плоскости - грани на расстоянии от нее. Это плоскость высечет из нашего k – симплекса -симплекс и отсечет от него k – симплекс , Обозначим -симплекса через , то формулу для определения объема k – симплекса можно записать в виде

. (8.5)

Так как k – симплекса может быть получен из k – симплекса гомотетией с центром в вершине и с коэффициентом получается из - грани той же гомотетией. Так как матрица гомотетии, отображающей - грань на - грань является матрицей -20 порядка вида , определить этой матрицы равен и объем может быть записан в виде

.

Поэтому

.

Применяя формулу (4) к объему - грани, выразим этот объем через объем одной из ее - граней и соответственную высоту этой - грани. Аналогично выразим объемы , , … , и площадь , вложенных друг в друга - грани, - грани, …, 3-грани и 2-грани симплекса через объемы , …, , площадь и длину одного из ребер - симплекса и соответственные высоты , , … , этих граней, получим что

.

В том случае, когда k – симплекс определяется уравнением (1), где , произведение … равно объему k – параллелепипеда, определяемого уравнением

с векторами при 0 , поэтому объем k – симплекса связан с объемом соответствующего k – параллелепипеда соотношением

= . (8.6)

Так как квадрат объема в силу (7.6 из § 7) равен определителю Грамма, составленному из вектора , из формулы (8.6) вытекает, что объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1), где , определяется соотношением

(8.7)

Объем – симплексa, определяемого уравнением (8.1) при = , где , равен

= , (8.8)

квадрат косого произведения ( ) равен определителю Грамма, составленному из векторов .

1. Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса и , то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс в k – симплекс . Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при = , где , выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором умножается на определитель матрицы оператора , получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом переходит при аффинном преобразовании с матрицей в k – симплекс с объемом , то, так же как в случае k – параллелепипедов,

= . (8.9)

Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при = 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник с центром в начале координат и со стороной на прямой имеет вершины в точках с координатами , и .

Рис. 29

Для построения правильного k – симплекса с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью на плоскости предположим, что мы построили аналитичный правильный - симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой между точкой и плоскостью в отношении : 1, а прямая совпадает с -ой координатной осью, вершина имеет координаты (0, 0, 0, … ); -е координаты вершин равны – 1, а первые -1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин ( -1) - симплекса умножением их на такой множитель , чтобы все расстояния , , …, = =

Расстояние от центра построенного - симплекса до его ( -1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого - симплекса равно . Длина каждого из ребер этого - симплекса равна .

И з определения правильного - симплекса видно, что все - грани правильного - симплекса являются правильными - симплексами.

Рис.30

На рисунке изображен правильный ( -1) – симплекс ( = 4)

Объем правильного - симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого - симплекса равен произведению , а высота этого - симплекса равна +1, получаем, что

.

.

При = 2 формула дает нам .

При = 3 формула .

Объем правильного - симплекса, ( -1) – грани которого находятся на расстоянии от его центра, равен