85991 (Математическая модель системы слежения РЛС), страница 6

На рисунке 2.16 изображено множество оптимальных траекторий в базисе (_t, _t), а на рисунке 2.17 изображены те же траектории в базисе ошибок. Положение траекторий в базисе ошибок зависит от начальной ошибки по обеим фазовым координатам, то есть от угла рассогласования и разности скоростей.

При различных начальных углах оптимальные траектории будут распределяться по горизонтали. На рисунке 2.16 показаны три траектории с начальными углами 0, 10 и 20. В указанных случаях, начальная скорость равна нулю.

При различных начальных скоростях, траектории будут иметь идентичный вид, но начальной точкой движения будет точка не лежащая на оси абсцисс.

2.5 Анализ решений

Для последующего анализа решений в базисе ошибок, необходимо рассмотреть несколько вариантов начальных условий. Для этого необходимо разбить пространство ошибок на характерные подпространства.

Так как угол рассогласования не может превышать угла в 180, то и ошибка не может превышать этого значения. Таким образом, в базисе ошибок можно выделить вертикальную полосу шириной 2 ([–, +]), за границы которой ошибка по углу не может выходить. На самом деле, если ошибка превышает значение , то угол рассогласования рассчитывается как показано ниже:

(2.23)

где — новое значение ошибки, не превышающее .

Следует также упомянуть следующее: при положительной ошибке начальная точка будет находиться справа от оси ординат, а при положительной ошибке — выше оси абсцисс.

Так как управление имеет ограничение на величину, то величина скорости вращения вала системы не будет превышать некоторого максимального установившегося значения. Таким образом, величина ошибки тоже не будет превышать некоторого максимального значения, определяемого максимальной скоростью системы и равной . Из этого следует, что в базисе ошибок необходимо выделить горизонтальную полосу шириной ( ), за границы которой ошибка по скорости не может выходить.

Таким образом, в пространстве ошибок выделена прямоугольная область допустимых значений ошибок. Все движения будут происходить именно в этой области.

На рисунке 2.17 показаны оптимальные траектории в пространстве ошибок. Выделим из всего множества траекторий две, приводящие в ноль. Будем называть эти траектории главными. У левой главной траектории выделим верхнюю ветвь, а у правой — нижнюю. Движение по этим ветвям приводит в начало координат. Так как в разделе 1.4 была поставлена задача (1.12), то эти две ветви необходимо выделить особо, так как при движении по ним выполняется первое условие задачи (1.12).

Указанные выше ветви главных траекторий делят область ошибок на два подпространства P и Q. Анализ этих подпространств делается ниже.

Вокруг начала координат ограничим некоторую область S. Данная область соответствует такому положению системы, при котором управление необходимое для коррекции этой ошибки не будет превышать своего максимального значения, то есть не будет нарушаться первое выражение системы (1.13). В графической интерпретации, в пространстве управлений движение будет происходить по горизонтальным границам (рисунок 2.7). Верхняя и нижняя ветки главных траекторий разбивают пространство S на два подпространства — S₁ и S₂.

Таким образом, были построены четыре подпространства в пространстве ошибок, которые изображены на рисунке 2.18.

Количество точек переключения и вид управления зависит от начальных условий. Рассмотрим различные варианты начальных условий:

1. система находится в точке лежащей в плоскости P (точка на рисунке 2.19); в этом случае движение в пространстве ошибок будет проходить по траектории, состоящей из двух кривых, то есть траектория будет иметь два интервала постоянства; этому движению соответствует управление с тремя точками переключения (рисунок 2.20, участок 1);

2. система находится в точке лежащей в плоскости S₁ (точка на рисунке 2.19); в этом случае движение в пространстве ошибок будет проходить также по двум кривым, то есть траектория будет иметь два интервала постоянства; но этому движению соответствует управление с двумя точками переключения (рисунок 2.20, участок 2);

1. в случае когда система находится в подпространстве Q, движение будет иметь такое же количество интервалов постоянства и точек переключения как и случай 1, но знак управляющего параметра изменится на противоположный (рисунок 2.19, точка , рисунок 2.20, участок 3);

2. в случае когда система находится в подпространстве S₂, движение будет иметь такое же количество интервалов постоянства и точек переключения как и случай 2, но знак управляющего параметра изменится на противоположный (рисунок 2.19, точка , рисунок 2.20, участок 4);

Т. о. данные траектории являются решением задачи об оптимальном быстродействии и задача сводится к нахождению моментов времени переключений управляющего параметра U.

При определении моментов точек переключения можно использовать как аналитические выражения, так и численные методы. При определении моментов точек переключения аналитически необходимо решить систему уравнений вида (2.18) для частного случая, где одно из уравнений написано для кривой, являющейся главной траекторией, а другое — для кривой, проходящей через точку, в которой находится система в данный момент и пересекающую главную траекторию, описанную первым уравнением системы. Общий вид системы приведен ниже:

В том случае, если аналитические выражения не удовлетворяют требованиям, предъявленным к алгоритму в разделе 1.3, точки переключения необходимо искать численными методами.

Как уже было сказано выше, численные методы имеют итерационный характер, и не обладают высокой точностью.

2.6 Общая структура системы оптимального управления

В соответствии с выше изложенным материалом, построена система оптимального управления. Система представляет собой устройство, корректирующее управление на каждом шаге. Под шагом понимается момент времени, в который производится измерение угла как ведомого так и ведущего приводов.

Общая структура системы приведена на рисунке 2.21. В общей структурной схеме выделено два основных блока:

1. 1 — блок оптимального управления;

2. 2 — математическая модель объекта управления в виде АРРМ.

В блоке оптимального управления происходит выработка управления на каждом шаге.

Рассмотрим блок оптимального управления (блок 1) подробнее. Развернутая структурная схема блока оптимального управления представлена на рисунке 2.22.

В структурной схеме на рисунке 2.22 выделены следующие блоки:

1. 1 — первый блок выбора алгоритма расчета управления;

2. 2 — второй блок выбора алгоритма расчета управления;

3. 3 — выдача управления последнего шага;

4. 4 — выдача одношагового управления;

5. 5 — расчет и выдача оптимального управления.

В блоке 1 происходит определение того, нужно ли корректировать значение управляющего параметра, то есть если ошибка не превышает некоторого предельно допустимого значения, то корректировка управляющего параметра не производится. В работу включается блок 3, который выдает управление последнего шага, которое обеспечило движение с допустимой ошибкой.

Если ошибка превышает предельно допустимое значение, то в блоке 2 выясняется, можно ли достигнуть предельно допустимого значения ошибки за один шаг. Если это возможно, то в работу вступает блок 4, в котором рассчитывается и выдается одношаговое управление.

Если за один шаг значение ошибки не удается свести к предельно допустимому, то в работу вступает блок 5, в котором делается прогноз на применяемое управление. В нем определяется знак управления, находится количество точек переключений значения управляющего параметра, рассчитываются моменты времени, в которые будет происходить переключение управляющего параметра и выдается управление на следующий шаг. Структура блока 5 (рисунок 2.22) приведена на рисунке 2.23.

В структурной схеме на рисунке 2.23 выделены следующие блоки:

1. 1 — блок определения области в пространстве ошибок, в которой находится система на данном шаге;

2. 2 — блок определения знака управления и количества точек переключения управляющего параметра;

3. 3 — блок вычисления моментов времени, в которые будут происходить переключения управляющего параметра;

4. 4 — блок выработки управления на следующий шаг.

Таким образом, в данном разделе была рассмотрена общая структура блока оптимального управления, на основе которой можно построить его математическую модель.

2.7 Полученные результаты

В соответствии с проведенными рассуждениями и опираясь на структурную схему, приведенную в предыдущем разделе, была построена математическая модель данной системы оптимального управления. Математическое описание и программирование алгоритма проводилось в среде пакета MatLab 6.5.

Начальными данными для проведения расчетов является семейство траекторий системы, экспериментально полученные при проведении исследований динамических характеристик и параметров привода РЛС в ООО НПО «Горизонт» [3]. Исходные данные приведены на рисунке 2.4.

Для сравнения результатов были использованы данные, полученные в результате измерения выходных координат системы регулирования привода антенны, построенной с использованием ПИД-регулятора [3]. На рисунке 2.24 приведены зависимости ошибки рассогласования антенн (сплошная линия) и управления (пунктирная линия) от времени.

На рисунке 2.25 – 2.26 приведены данные, полученные в результате работы описанного выше алгоритма оптимального управления. На рисунке 2.25 приведен график зависимости полученного управления от времени. На рисунке 2.26, а приведен график зависимости угла поворота исполнительного органа установки от времени; на рисунке 2.26, б — график зависимости скорости поворота от времени; на рисунке 2.26, в — траектория движения системы в пространстве фазовых координат системы; на рисунке 2.26, г — график зависимости ошибки по углу поворота от времени; на рисунке 2.26, д — график зависимости ошибки по скорости поворота от времени и на рисунке 2.26, е — траектория движения системы в пространстве ошибок.

Проведем сравнительную характеристику представленных диаграмм. Из рисунка 2.24 видно, что процесс синхронизации антенн и выход на рабочий режим завершается приблизительно за десять секунд. Из графиков, приведенных рисунках 2.25 – 2.26 можно сделать вывод, что построенная система выходит на рабочий режим, приблизительно, за 1,5 секунды, что, почти, в 6 раз быстрее системы, построенной на основе ПИД-регулятора.

Процесс выхода на рабочий режим завершился с некоторой незначительной ошибкой, которую можно ликвидировать в следующем цикле работы системы оптимального управления. Этот процесс может продолжаться длительное время, поэтому необходимо задавать некоторое предельно допустимое значение ошибки, при котором работа системы будет удовлетворять техническим требованиям, предъявляемым к данной установке.

Таким образом, была смоделирована система управления, обеспечивающая более чем пятикратный выигрыш в быстродействии по сравнению с существующими системами, построенными на основе ПИД-регуляторов.