85912 (Плоские кривые), страница 5

Рис. 17

II способ

Приведём уравнение к каноническому виду.

Разделим обе его части на 7.

Получим, что

Строим осевой прямоугольник со сторонами а и 2b, а затем изображаем эллипс.

Отметим, что, например, уравнение 3х² + 5у² = 7 следует сначала преобразовать к виду х² + у² = или а затем находить R, k и a, b соответственно.

Если центр эллипса находится не в начале координат, но его оси параллельны координатным осям, то он задаётся уравнением (4),

где С (а; b) – центр эллипса. Это легко следует из формул параллельного переноса, или каноническим уравнением

(5) – С (х; у) – центр эллипса.

Данного материала достаточно для построения эллипса в том случае, если он задан уравнением, содержащем как квадраты, так и первые степени переменных.

б)

I способ

Преобразуем к виду (4):

Это уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где k = (рис. 18)

Рис. 18

II способ

Преобразуем к виду (5): . Получили уравнение эллипса с центром в точке С (5; – 4), где а = 3, b = 2.

Строим сам эллипс.

1. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов:

а)

Приводим уравнение к каноническому виду , а = 3, b = 2.

Фокусы F₁ и F₂ имеют координаты F₁(с; 0) и F₂(– с; 0).

Итак, F₁( ; 0) и F₂( ; 0) а = 3, b = 2.

б) Решаем аналогично а). , а = 3, b = 1.

F₁(с; 0), F₂(– с; 0).

Итак, F₁( ; 0) и F₂( ; 0) а = 3, b = 1.

в)

, а = , b = .

F₁(с; 0), F₂(– с; 0):

Итак, а = , b = , F₁( ; 0), F₂(- ; 0).

1. Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу и равноудалённых от фокусов.

Пусть М (х; у), тогда МF₁ = МF₂ (по условию). Т. к. F₁(с; 0), F₂(– с; 0): то

Если х = 0, то, подставляя его в исходное уравнение, получим: , Следовательно, и .

1. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, изобразить области, определяемые следующими системами неравенств.

а)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, 3-м неравенством.

Найдём пересечение этих множеств.

1. Построим эллипс но т. к. неравенство строгое, то точки эллипса не принадлежат искомой области, т.е. неравенство (2) задаёт внутренние точки эллипса.

Устанавливаем, что R = 3, (0< k <1), Cтроим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем эллипс.

1. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого строим прямую и штрихуем определяемую область.

1. Аналогичные рассуждения для построения области, заданной неравенством у + 2 > 0.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, и 3-м неравенствами.

Найдём пересечение этих множеств.

I. – эллипс, точки которого не принадлежат искомой области (неравенство строгое), т.е. неравенство задаёт внешние точки эллипса. Приведём уравнение к каноническому виду

Строим осевой прямоугольник со сторонами a и b, изображаем эллипс.

1. Строим множество точек, заданных неравенством (2). Для этого изображаем прямую у = 3 и штрихуем определяемую область.

1. Рассуждаем аналогично.

Построение.

Занятие №4–5

Тема: Гипербола

Учащиеся хорошо знакомы с гиперболой как с графиком функции и с такими понятиями, как её ветви и асимптоты. Гипербола не только является центрально-симметричной линией (как график нечётной функции), но и имеет две оси симметрии – это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. 19).

Рассмотрим уравнение x² – y² = l и покажем, что линия, задаваемая им – это тоже гипербола. Перепишем уравнение в виде (x – y) (x + y) = l. Введём новые переменные: тогда в системе (u, v) исходное уравнение примет вид uv = l, и это будет гипербола, расположение ветвей которой полностью определяется знаком числа l.

Для изображения гиперболы выясним, как расположены оси системы координат (u, v) в координатной плоскости (х, у), считая, что u – абсцисса и v – ордината в новой системе координат. Ось абсцисс – это множество точек, для которых v = 0, т.е. в исходной системе координат, или в исходной системе координат, или . Это биссектриса чётных координат углов. Аналогично, . Это биссектриса нечётных координатных углов. Для выяснения направлений на осях рассмотрим на оси Ou точку А (рис. 20), которая в системе координат (х, у) имеет координаты (1, -1). Тогда для этой точки u = 1 – (– 1) = 2 > 0, т.е. она лежит на положительной полуоси Оu. Аналогично, рассматривая на оси Ov точку В (1; – 1), получим, что для неё , и, значит, она расположена на положительной полуоси Ov.

Это позволяет сделать вывод о том, что преобразование переводит систему координат (х, у) в систему (u, v), оси которой повёрнуты пол отношению к исходной на угол .

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Уравнение при этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильно уравнению ибо равенство означало бы , и, значит, В зависимости от знака числа l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующих координатных четвертях системы , тем самым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением в системе координат .

При этом, подставляя в исходное уравнение или в зависимости от знака l, мы получим точки пересечения гиперболы с той или иной координатной осью. Эти точки называются вершинами гиперболы (рис. 21).

Если к гиперболе провести касательные в её вершинах (Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной её точке является биссектрисой внутреннего угла М₀ треугольника F₁M₀F₂, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точку М₀, см. рис. 27), то они пересекут асимптоты гиперболы в точках, которые будут вершинами квадрата (это следует из соображений симметрии). Удобно этот квадрат назвать осевым квадратом гиперболы (рис. 23). Центр этого квадрата совпадает с центром симметрии гиперболы, её диагонали – это её асимптоты, а сторона равна .

Рис. 22, 23

Если произвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k 1, то гипербола преобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболе говорят, что она неравнобокая. Исходную же гиперболу называют равнобокой. Прн сжатии осевой квадрат преобразуется в осевой прямоугольник, а диагонали квадрата – в диагонали прямоугольника (они будут асимптотами для получающейся неравнобокой гиперболы). Уравнение неравнобокой гиперболы имеет вид: , где k² 1.

Рис. 24

Таким образом, уравнение (k 0, l 0) всегда задаёт гиперболу. Она равнобокая, если k = 1 и неравнобокая, если k = -1. Её вершины лежат на оси Ох, если l > 0, и на оси Оу, если l < 0. Для её изображения нужно сначала построить осевой прямоугольник, его диагонали и вершины гиперболы (рис. 24).

Преобразуем уравнение . Разделим обе его части на l:

(1)

Если l > 0, то уравнение примет вид (1), а если

l < 0 – (2).

Сделаем замену , , тогда получим уравнение гиперболы в общем виде

(3) (4).

Уравнения (3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданные этими уравнениями, называются сопряжёнными, а и b – стороны осевого прямоугольника. Если a = b – осевого квадрата.

Для закрепления решим несколько задач. [17]

1. Построить графики.

а)

I способ.

Это уравнение равносильно уравнению . Поскольку l < 0, то вершины гиперболы расположены на оси Оу. Гипербола неравнобокая, т. к. . Строим осевой прямоугольник со сторонами и , где , . Чертим график гиперболы.

II. способ

Приведём уравнение к каноническому виду

, , следовательно, Строим осевой прямоугольник, а затем изображаем гиперболу.

Параллельный перенос гиперболы преобразует уравнение к виду:

(5) (или (6)).

Рассмотрим способ построения гиперболы по уравнению данного вида.

б) . Преобразуем его к виду (5) и далее: Это уравнение гиперболы, где Осевой прямоугольник со сторонами смещён на две единицы вверх и вправо. Строим его и изображаем гиперболу.

II способ.

Приводим уравнение к каноническому виду:

, следовательно,

Центр осевого прямоугольника – точка (2; 2).

Строим его и изображаем гиперболу.

1. Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих гипербол:

а)

.

Привели к каноническому виду, а следовательно а = 2, b = 3.

F₁ и F₂ имеют координаты: F₁(– с; 0), F₂(с; 0).

Таким образом, F₁( ; 0), F₁( ; 0).

Ответ: а = 2, b = 3, F₁( ; 0), F₁( ; 0).

б)

Используя каноническое уравнение, получим:

.

Мы знаем, что F₁(– с; 0), F₂(с; 0),

Итак, , F₁( ; 0), F₁( ; 0).

в)

,

F₁(– с; 0), F₂(с; 0):

Ответ: F₁( ; 0), F₁( ; 0).

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10;

Итак, нам дано, что Находим, что .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Т. к. , то уравнение можно записать следующим образом:

1. Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, построить области, определяемые следующими системами неравенств:

а)

построим множество точек, определяемых 1-м и 2-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

1. Построим гиперболу . После преобразования получаем каноническое уравнение с полуосями а = 2 и b = 1. Точки гиперболы не принадлежат искомой области, т. к. неравенство строгое. Это неравенство определяет внутренние точки гиперболы. Строим осевой прямоугольник, гиперболу и изображаем искомую область.

2. Строим множество точек. Заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м. 3-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

1. построим гиперболу . Её точки принадлежат искомой области, т. к. неравенство не строгое. Т. о. Неравенство определяет внешние точки гиперболы. Преобразуем уравнение. это уравнение гиперболы, где , точки которой не принадлежат искомой области (неравенство строгое), строим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем гиперболу.

2. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

3. Рассуждаем аналогично. строим прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.