85912 (Плоские кривые), страница 2

Способом проектирования могут быть получены многие из часто встречающихся кривых. Сюда относится циклоида, являющаяся параллельной проекцией винтовой линии на плоскость, параллельную её оси. Спираль Архимеда может быть определена как проекция конической винтовой линии на плоскость, перпендикулярную её оси. Овалы Декарта могут быть определены как проекции линии пересечения двух конических поверхностей с параллельными осями на плоскость, перпендикулярную к этим осям, и т.д.

1. Кривая определяется заданием её дифференциальных свойств.

Непосредственно задаваемое по условию задачи или вытекающее из этого условия соотношение между бесконечно малыми элементами кривой выражается сначала в виде некоторого дифференциального уравнения. Последующее интегрирование этого уравнения приводит к обычному уравнению искомой кривой. Такой способ определения уравнения кривой характерен для многочисленных задач геометрии, механики, физики, техники. Так показательная кривая может быть определена как линия, у которой подкасательная для всех точек имеет одно и то же значение. Трактриса характеризуется постоянством длины касательной. Радиоидальная спираль определяется как линия, для которой радиус кривизны обратно пропорционален длине дуги. На основании геометрических соображений и законов механики выводятся дифференциальные уравнения цепной линии, изогнутой оси балки и т.д.

1. Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой.

Этот способ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даёт неиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определять свойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.

К числу основных геометрических преобразований относятся аффинное, проективное, инверсия, квадратичное, двойственное, касательное.

1. Мы заключим обзор различных способов, дающих средства для аналитического определения кривых, ещё одним, естественным по сравнению с предыдущими, в том смысле, что составлять уравнение кривой в том смысле уже не приходится, так как кривая задаётся сразу же в аналитической форме и представляет собой график той или иной функции. Выше было замечено, что метод Декарта, которым определяется соответствие между линией и уравнением, даёт неограниченные возможности для определения кривых самых разнообразных форм. В арсенале замечательных кривых, используемых в науке и технике, имеется немало линий, которые исторически возникли аналитическим путём, т.е. определялись первоначально как кривые, соответствующие определённым уравнениям. к ним относятся декартов лист – график функции, определяемой уравнением . Сюда же относятся параболы и гиперболы всших порядков – графики функций определяемых уравнением , кривые Ламе – графики функций, определяемые уравнением . К аналитически определяеым кривым относятся также кривые, являющиеся графиками тригонометрических функций, показательной функции и многие другие.

3. Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид и становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если ₁, ₂, …,_n – корни уравнения , то

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой.

класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.

Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.

Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x²+y²=1, пересечём её прямой . Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u²+v²) x²+2ux+(1-v²)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v²(1-u²-v²)=0. Подобным же образом получим равенство u²(1-u²-v²)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u²-v²=0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.

Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение пучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.

Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых , проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v²y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x)²-4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.

Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:

k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3,

=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8.

Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.

Род алгебраической кривой.

Известно, что нераспадающаяся кривая n-го порядка может иметь не более чем двойных точек. Действительно, если бы она имела, например, двойных точек, то через эти точки и через n – 3 других точек её можно было бы, как легко видеть, провести кривую порядка n – 2. Но так как каждая двойная точка первой кривой должна считаться за две точки пересечения её со второй кривой, то получается, что эти кривые имели бы общих точек. Последнее, однако, невозможно, так как нераспадающейся кривой будет справедливо и для точек высшей кратности, если точку кратности k считать за двойных точек. Например, кривая 5-го порядка может иметь семь двойных точек и одну тройную: . Это соглашение оправдывается тем, что через точку кратности k проходит k ветвей этой кривой. Если их представлять себе отделёнными от кратной точки, то, пересекаясь попарно, они дадут двойных точек, которые, совпадая, и образуют точку кратности k.

Дадим понятие рода кривой. Род, или жанр, алгебраической кривой определяется числом р, являющейся разностью между наибольшим числом двойных точек, которые может иметь кривая этого порядка, и их фактическим числом у данной кривой. С ранее упомянутыми числовыми характеристиками алгебраической кривой эта новая характеристика р связана соотношениями

Если рассматриваемая кривая имеет наибольшее число двойных точек, возможных для кривых её порядка, то, очевидно, это будет кривая нулевого рода. Эти кривые обладают весьма важным свойством, а именно, координаты точки, двигающейся по такой кривой, могут быть выражены рациональными функциями некоторого параметра.

1. Рациональные кривые

Рациональными являются кривые четвёртого, имеющие три двойные точки. Координаты точки таких кривых являются целыми рациональными функциями 4-й степени от параметра.

Укажем два способа конструктивного образования рациональных кривых 4-го порядка.

С проективной точки зрения рациональная кривая 4-го порядка определяется пересечением прямых, принадлежащих некоторому пучку, с прямыми проективно соответствующего ему пучка касательных к некоторой кривой второго порядка.