85829 (Розвиток творчого мислення старшокласників на уроках математики з використанням інформаційних технологій), страница 5

У загальноосвітній школі поняття функції вперше вводиться у восьмому класі.

Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини М відповідає одне значення змінної у, то змінну у називають функцією від х.

У підручнику приводяться приклади функціональних залежностей і не функціональних. Даються способи завдання функцій:

• Таблицею;

• Аналітично;

• Графіком.

Основними завданнями вивчення числових функцій є формування в учнів:

1.Навичок дослідження функцій;

2.Навичок побудови їхніх графіків;

3.Навичок знаходження функції, зворотної до даної функції;

4.Навичок застосування функцій для опису й вивчення реальних процесів.

Відповідно до цих завдань у результаті вивчення функцій учні повинні навчитися:

1.Знаходити область визначення й область значень, проміжки знакозмінних величин, нулі функції, досліджувати функцію на монотонність;

2.Будувати графіки функцій, визначати вивчені функції за їхніми графіками, уміти досліджувати функцію за її графіком;

3.Знаходити функцію, зворотну до даноі, і будувати її графік за графіком даної функції;

4.Застосовувати виучені функції для розв’язування конкретних задач.

Вивчення лінійної функції починається з вивчення окремого виду - прямої пропорційності. Такий підхід є, по-перше, найбільш доступним, а по-друге, дає можливість у процесі вивчення лінійної функції вивчити властивості прямої пропорційності.

У результаті розв’язування деякої задачі вираження виду у=kх, варто помітити, що це вираження із двома змінними задає відношення між змінною величиною х і змінною величиною y. Оскільки для кожного значення х₀ змінної х існує єдине значення у₀ змінної, котре перебуває у відношенні у  =kх , те відношення у=kx є функцією.

Тот факт, що графіком функції є пряма обґрунтовується на основі наочних подань учнів за допомогою індуктивних міркувань. Розглянувши побудову декількох точок для графіка функцій виду у=kx при різних значеннях k, у кожному випадку зауважуємо, що точки графіка належать одній прямій. Звідси й робимо висновок. Для того, щоб висновок був правильним, важливе значення має точність побудов.

Розглядаючи графік, установлюємо властивості функції.

Під час вивчення лінійної функції загального виду важливо вимагати, щоб учні зрозуміли, що графік функції y=kx+b можна дістати паралельним перенесенням графіка функції у=kx у напрямку осі OY.

До числа нелінійних алгебраїчних функцій, які вивчаються в неповній середній школі належать: обернена пропорційність, степенева функція з натуральним показником і функції у=ах + вх + с, [61].

У процесі вивчення оберненої пропорційності можна формувати поняття непарної функції і її графіка.

Вивчаючи функції у = ах² й у = ах³, важливо розглянути питання про існування зворотних до них функцій.

Дослідження функцій у = хⁿ і побудову їх графіків доцільно виконувати, розділивши їх на два класи за ознакою парності або непарності n.

Оскільки послідовність є функцією, заданої на множині всіх або перших n натуральних чисел, то поняття послідовності можна формувати під час вивчення поняття функції. Для цього досить включити в число перших прикладів відповідностей і функцій такі, областю визначення,яких є множина перших n натуральних чисел, а кожну з функцій, заданих формулами, розглядати спочатку на множині натуральних, цілих й, нарешті, на множині раціональних чисел.

Такий підхід до вивчення функції дасть можливість не тільки на більше ранньому етапі сформувати поняття послідовності, але й розширить можливості щеплення навичок дослідження функцій. [61].

Ціль вивчення функцій в 8 класі.

Ввести поняття функції, області визначення й області значень функції, способи завдання функції; розглянути функції, відзначені в програмі, їх графіки й властивості.

Учні повинні:

Мати поняття про функцію, аргумент і значення функції, область визначення, область значень, нулі функції, графіки функції;

Знати:

• Означення функції:

• Три основних способи завдання функції;

• Означення лінійної функції, прямої і зворотної пропорційності;

• Основні властивості відзначених функцій і функцій у=х , у = , [у=х ].

Уміти:

• Знаходити область визначення й область значень функції;

• Знаходити значення функції, заданої графіком, таблицею або формулою;

• Будувати графіки відзначених функцій.

Ціль вивчення функцій в 9 класі

Ввести визначення квадратичної функції.

Учні повинні

Знати:

• Формулу для обчислення абсциси вершини параболи;

• Алгоритм побудови графіка квадратичної функції;

Уміти:

• Будувати графік квадратичної функції;

• Знаходити за графіком квадратичної функції нулі функції, проміжки зростання й убування функції. [37].

Пояснення починаються, як правило, з розгляду залежностей між залежностей двох змінних, у яких кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної.

Під час формування загального поняття функцій важливо використати приклади залежностей, які задаються різними способами (за допомогою графіків і таблиць), відомі учням ще з попередніх класів.

Оскільки функція вважається заданою, коли визначений спосіб залежності між змінними й областю визначення функції, тоді природньо розглядаючи приклади, ввести поняття області визначення й області значення функцій.

2.2. Використання ПК на уроках математики при побудові графіків функцій

Впровадження в навчальний процес сучасних засобів збору, збереження, передача інформації відкриває широкі перспективи гуманітаризації освіти й гуманізації навчального процесу, поглиблення й розширення теоретичної бази знань і надання результам навчання практичної значимості, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу дітей з обліком їхніх вікових особливостей і життєвого досвіду, індивідуальних нахилів, запитів і здібностей.

Разом з тим виникає цілий ряд проблем, що стосуються змісту, методів, організаційних форм і засобів навчання, обов'язкових рівнів знань із різних навчальних предметів, яких повинна досягти кожна дитина.

При цьому вчителеві не нав'язується ніяка методика подання навчального матеріалу, закріплення й контролю знань, конкретний зміст, методи, засоби й організаційні форми навчання, співвідношення між самостійною роботою учнів і роботою разом із вчителем, між індивідуальними й колективними формами роботи й ін. Все це вчитель повинен визначити сам з обліком своїх власних позицій і смаків, специфіки умов, у яких перебігає навчальний процес, індивідуальних особливостей окремих учнів і класного колективу.

Ясно, що неможливо й немає необхідності всіх дітей однаково вчити й навчити, сформувати в кожної дитини ті самі знання, уміння й навички в різних предметних галузях, обов'язково домагатися від дітей досягнення однакового рівня розвитку логічного й творчого мислення, загального сприйняття різних проявів навколишньої дійсності. Це стосується й навчання математики, методів розв'язання задач, побудови й аналізу математичних моделей різноманітних процесів й явищ, інтерпретації й узагальнення результатів такого аналізу [15].

С ьогодні розроблена вже значна кількість програмних засобів, що дозволяють вирішувати за допомогою комп'ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програмні засоби, як, GRAN 1, Maple, Mathematika, MathLab,і ін. Причому одні з них орієнтовані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші -на учнів середніх навчальних закладів або студентів вузів, що лише почали вивчати шкільний курс математики або основи вищої математики.

Найбільш зручними для підтримки вивчення курсу математики в середніх навчальних закладах видаються комплект програм GRAN (GRAN1, Gran-2D, Gran-3, ін.). Від користувача не потрібен значний об'єм спеціальних знань із інформатики, основ обчислювальної техніки, програмування тощо, за винятком найпростіших понять, повністю доступних для учнів середніх класів.

Використання подібних програм дає можливість учневі вирішувати окремі задачі, не знаючи відповідного аналітичного апарата, методів і формул, правил перетворення виразів, тощо. Наприклад, учень може вирішувати рівняння й нерівності і їхні системи, не знаючи формул для відшукування коренів, методу виключення змінних, досліджувати функції, не знаючи алгоритмів їхнього дослідження, не використовуючи симплекс-метод, градиентные методи й т.д. Разом з тим завдяки можливостям графічного супроводу комп'ютерного розв'язання задачі, учень чітко й буде легко вирішувати досить складні задачі, упевнено володіти відповідною системою понять і правил. Використання програмних засобів відзначеного типу дає можливість у багатьох випадках зробити розв'язання задачі настільки ж доступним, як простий розгляд малюнків або графічних зображень. Відповідні програмні засоби перетворюють окремі розділи й методи математики в "математику для всіх", що стають доступними, зрозумілого, легкого й зручними для використання, а той, хто вирішує задачу, стає користувачем математичних методів, можливо не володіючи їхньою побудовою, аналогічно до того, як він використає інші комп'ютерні програми (текстові, графічні, музичні редактори, електронні таблиці, бази даних), не знаючи, як і за якими принципами їх побудована, якими мовами програмування описані, які теоретичні положення покладені в їхню основу.

З іншої сторони такий підхід до вивчення математики дає наочні подання про поняття, які вивчаються, розвиває образне мислення, просторову уяву, дозволяє досить глибоко проникнути в сутність досліджуваного явища, неформально вирішувати задачу. При цьому на передній план виступає з'ясування проблеми, постановка задачі, розробка відповідної математичної моделі, матеріальна інтерпретація отриманих за допомогою комп'ютера результатів. Всі технічні операції щодо розробки побудованої математичної моделі, реалізації методу відшукування розв’язування, оформлення й подання результатів розробки вхідних даних покладають на комп'ютер.

Важко переоцінити програмні засоби відзначеного типу й при поглибленому вивчанні математики. Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення або графічні побудови, перевірити ту або іншу гіпотезу, випробувати той або інший метод розв'язання задачі, уміти проаналізувати й пояснити результати, отримані за допомогою комп'ютера, з'ясувати границі можливостей використання комп'ютера або обраного методу розв'язання задачі мають надзвичайне значення при вивченні методів математики.

Вже з наведеного видно, як може змінюватися (причому в досить широкому діапазоні) зміст і структура навчальної діяльності учнів при вивченні математики залежно від специфіки обраної ними предметної галузі, спрямованості навчання, індивідуальних нахилів і здатностей. При цьому комп'ютерна підтримка вивчення математики з використанням програмних засобів відзначеного типу дає значний педагогічний ефект, полегшуючи, розширюючи й поглиблюючи вивчення й розуміння методів математики на відповідних рівнях у середніх навчальних закладах з найрізноманітнішими нахилами в навчанні - гуманітарного напрямку, різних профілів, середніх загальноосвітніх школах, гімназіях, ліцеях, класах і закладах з поглибленим вивчанням природно-математичних дисциплін. Природно, і програми курсів математики, і глибина вивчення відповідних понять, законів, методів, аналітичного апарата можуть істотно відрізнятися між собою.

Не розглядаючи детально всі теми, досліджуванні у курсі математики середньої загальноосвітньої школи, можна помітити, що комп'ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п'ятих - шостих класів, зокрема при вивченні системи координат на прямій і на площині, планіметрії, поняття функції, елементарних функцій й їх властивостей.

Зрозуміло, що крім програм відзначеного типу вчитель при необхідності може використати різного роду тренажери, програми для контролю знань, збір статистичних даних щодо навчального процесу і їхнього пророблення тощо. Використання таких програм дає можливість учителеві значно інтенсифікувати спілкування з учнями й учнів між собою, більше уваги приділити задачам на доказ, на постановку задач, побудова їхніх математичних моделей, розробку й дослідження методів розв'язання задач, дослідження рішень, логічний аналіз умов задач, пошук нестандартних підходів до розв'язання задач, виявленню закономірностей, яким підкоряються досліджувані процеси і явища, перевести на комп'ютер рутинні, чисто технічні й нецікаві операції, ручне виконання яких практично не розвиває інтелект дитини, а часто навіть, навпроти, гасить його, коли дитина вподібнюється роботу або комп'ютеру, виконуючи замість нього обчислювальні, графічні й інші технічні операції.

Зрозуміло, що заняття з математики, орієнтовані на використання засобів навчання згаданих типів, повинні проводитися відповідним чином оснащеному технічними й програмними засобами класі. У таких класах повинні вивчатися всі навчальні предмети, а не тільки основи інформатики й обчислювальної техніки. Це у свою чергу буде сприяти розширенню й поглибленню межпредметных зв'язків, інтеграції окремих навчальних предметів, їхньому взаємопроникненню й взаємодії, що в остаточному підсумку дасть можливість в окремих навчальних закладах або класах опановувати елементами нових інформаційних технологій й інформаційної культури при вивченні різних навчальних дисциплін, а не лише окремого, майже ізольованого від інших, навчального курсу "Основи інформатики й обчислювальної техніки"[17].

У посібнику «Математика з комп'ютером» [16] досить детально розглядається програмний засіб GRAN1 в об'ємі, що відповідає програмі курсу математики середньої загальноосвітньої школи. Названий засіб призначений у першу чергу для розв'язання певних класів задач різними методами й може бути віднесений до так називаних програм - розв’язуванням.

У посібнику описуються правила роботи із програмою GRAM для Windows (надалі - GRAN1), розробленої спеціально для підтримки шкільного курсу математики. Аналізуються можливості використання програми при вивченні різних розділів математики в середній загальноосвітній школі, СПТУ, педагогічних училищах, середніх навчальних закладах гуманітарного напрямку.

Програма GRAN1 призначена для графічного аналізу функцій, звідки й походить її назва (Graphic Analysis).

Для побудови графіків залежностей між змінними (різних типів завдання) і виконання деяких інших операцій над графічними побудовами призначений пункт "Графіки".