85725 (Максимальные факторизации симплектических групп), страница 6
Описание файла
Документ из архива "Максимальные факторизации симплектических групп", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85725"
Текст 6 страницы из документа "85725"
Пусть 
и 
- целые числа, 
, 
. Если 
- простое число, делящее 
и не делящее числа 
для 
, то называют примитивным простым делителем числа .
Хорошо известно, что при , 
и 
всегда есть примитивный простой делитель числа . Пусть 
, где 
- простое число, 
- целое положительное число. Обозначим 
наибольший примитивный простой делитель числа 
(так, что делит и не делит 
для 
). Определим 
как произведение всех примитивных простых делителей . Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы 
. Отметим, что
Теорема 50Пусть 
, где - нечетное число. Если 
, где 
и 
- максимальные подгруппы группы 
, тогда 
, где 
- максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная 
и имеющая порядок
Доказательство. Предположим, что 
делит 
. Из 6 следует, что является одной из следующих групп 
, 
, 
или 
. Пусть сначала 
. В этом случае 
. Из 6 следует, что это в точности максимальная параболическая подгруппа группы 
и 
. Из сравнения порядков группы и произведения 
получаем следующую максимальную факторизацию:
Пусть теперь является одной из следующих групп , или . Из сказанного выше следует, что не изоморфна 
. Из пункта 2.4 7 получим, что 
есть 
или 
. По теореме 2.4D 7 
есть 3 или 7. Если 
, тогда 5 делит 
. В этом случае из 6 следует, что одна из групп , , . Поскольку 
, то 
делит 
. Однако 
не делится на . Противоречие с тем, что . Следовательно, 
и 
. Так как 27 делит , то является параболической подгруппой группы и имеет место факторизация:
Теорема 50 доказана.
Пусть 
, где - положительное число. Тогда ортогональная группа 
и 
. 
обозначает сплетение группы 
с группой 
, т.е. 
, где 
. Очевидно, что 
; - максимальная параболическая подгруппа в 
порядка 
; 
- группа Судзуки порядка 
, где 
.
Лемма 51 Пусть 
. Тогда
Доказательство. Из 8 следует, что 
является максимальной подгруппой в . Пусть 
и 
. Обозначим
где 
матрица в каноническом базисе симплектического пространства 
, 
, 
, 
. Тогда 
- диэдральная группа, которая фиксирует разложение:
Из 8 следует, что стабилизатор этого разложения 
, 
и
Лемма доказана.
В приведенных обозначениях с учетом таблицы 1 7 и леммы 51 получим:
Теорема 52 Пусть , где . Если , где и - максимальные подгруппы в группе . Тогда
1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
.
Заключение
В дипломной работе найдены максимальные факторизации симплектических групп . Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть , где - нечетное число. Если , где и - максимальные подгруппы группы , тогда
, где - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная и имеющая порядок
Теорема 2. Пусть , где . Если , где и - максимальные подгруппы в группе . Тогда
1) ,
2) ,
3) ,
4) 
,
5) .
Список использованных источников
11[] Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов, Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины, 2003. - 320 с.
22[] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1982.
33[] Холл Ф., Теория групп, М., 1962.
44[] Горенстейн Д., Конечные простые группы: введение в их классификацию., М., 1985.
55[] Казарин Л.С., Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами //Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 7 -- 8. С. 947 -- 950.
66[] Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V. 14, 1913. p.123--142.
77[] Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V. 86, N. 432. p. 1--151.
88[] Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p. 868--870.
