85725 (Максимальные факторизации симплектических групп), страница 2

Представление знакопеременного пространства в знакопеременное пространство (оба над полем и с формами, обозначаемыми через ) есть по определению линейное преобразование пространства в , такое, что для всех , . Инъективное представление называется изометрией в . Пространства и называются изометричными, если существует изометрия на . Пусть обозначает представление, - изометрию ``в'', а или - изометрию ``на''. Очевидно, что композиция двух изометрии - изометрия и преобразование, обратное к изометрии, - также изометрия. В частности, множество изометрий пространства на себя является подгруппой общей линейной группы абстрактного векторного пространства ; она называется симплектической группой знакопеременного пространства и обозначается через . Для любого ненулевого элемента из имеем .

Предложение 8 Пусть - линейное преобразование знакопеременного пространства в знакопеременное пространство . Предположим, что существует база пространства , такая, что для всех , . Тогда -- представление.

Доказательство. Это тривиально следует из определений.

Каждому знакопеременному пространству со знакопеременной формой сопоставим отображения и пространства в сопряженное пространство ( рассматривается как абстрактное векторное пространство над ). По определению отображение сопоставляет произвольному элементу из линейный функционал , определенный формулой , а переводит в . Легко проверяется, что и являются линейными преобразованиями.

- матрица над называется кососимметрической, если , и знакопеременной, если и на главной диагонали стоят нули. Таким образом, знакопеременные матрицы являются кососимметрическими. Обратно, кососимметрические матрицы являются знакопеременными, если характеристика поля не равна . Рассмотрим знакопеременное пространство . Мы можем ассоциировать с базой пространства матрицу, у которой на месте стоит . Назовем матрицей знакопеременного пространства в базе и будем писать

Если существует хотя бы одна база, в которой имеет матрицу , то будем писать . Матрица , ассоциированная со знакопеременным пространством указанным способом, является, очевидно, знакопеременной. Что происходит при изменении базы? Предположим, что в базе и - матрица перехода от первой базы ко второй, т. е.

Тогда

откуда видно, что изменение матрицы пространства при изменении базы описывается соотношением .

Если - абстрактное векторное пространство с базой и - произвольная знакопеременная -матрица над , то существует единственный способ превратить в знакопеременное пространство, такое, что в , а именно, положить

где - элемент, стоящий в матрице на месте .

Предложение 9Предположим, что - знакопеременное пространство, - его база и в . Тогда матричный изоморфизм, определенный базой , отображает на группу всех обратимых -матриц над , удовлетворяющих соотношению

Дискриминантом векторов в знакопеременном пространстве называется определитель

В частности, если - база пространства и в этой базе, то

Если - другая база, то соотношение показывает, что

для некоторого из . Следовательно, канонический образ элемента в не зависит от базы; он называется дискриминантом знакопеременного пространства и обозначается через . Здесь множество определяется очевидным образом: берем факторгруппу , присоединяем к ней нуль 0 и полагаем, что произведение нуля и любого другого элемента равно нулю. Запись , где , будет обозначать, что равно каноническому образу элемента в или, другими словами, что обладает базой , для которой . Если , то полагаем .

Пример 10Рассмотрим знакопеременное пространство со знакопеременной формой . Пусть - его база, а - сопряженная база сопряженного пространства . Пусть в . Тогда . Легко видеть, что матрица линейного преобразования , определенного ранее, относительно баз и равна ; действительно, если , то

Аналогично матрица преобразования относительно баз и равна .

Предложение 11 Любые векторов знакопеременного пространства , такие, что , линейно независимы.

Доказательство. Зависимость влечет за собой для . Это означает зависимость между строками матрицы , что невозможно, так как дискриминант не равен 0.

Предложение12 Следующие утверждения для знакопеременного пространства равносильны:

• ,

• ,

• ,

• биективно,

• биективно.

Доказательство. Можно считать, что . Зафиксируем базу пространства , и пусть - сопряженная база. Пусть в . Ввиду 10

поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее

так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).

Определение 13Знакопеременное пространство называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий 12. Знакопеременное пространство называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если .

Если , то регулярно. Если , то ввиду 12 и 13

Предложение 14 Пусть - представление знакопеременных пространств. Если регулярно, то - изометрия.

Доказательство. Возьмем из ядра представления . Тогда . Отсюда ввиду регулярности пространства получаем, что .

Предложение 15Каждой базе регулярного знакопеременного пространства соответствует единственная база этого пространства, называемая сопряженной к относительно и такая, что для всех , . Если в и в , то .

Доказательство. 1) Положим для , где - сопряженная к база сопряженного пространства . Тогда - база, так как биективно. Кроме того,

Этим доказано существование базы . Единственность непосредственно следует из регулярности.

2) Пусть . Тогда и

Отсюда , так что и .

Рассмотрим знакопеременное пространство со знакопеременной формой . Будем говорить, что имеет ортогональное разложение

на подпространства если оно является прямой суммой с попарно ортогональными , т. е. при . Назовем компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство расщепляет или что является компонентой пространства , если существует подпространство пространства , такое, что . Имеем

где произведение берется в .

Рассмотрим два знакопеременных пространства и над одним и тем же полем и предположим, что имеется ортогональное разложение , а - сумма пространств , , причем при . Пусть для каждого , , задано представление . Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым на . На самом деле легко проверить, что - представление. Мы будем записывать его в виде

Важным является случай, когда , для всех и для всех ; тогда

Если дано еще одно такое представление , то

Рассмотрим знакопеременное пространство над полем . Под ортогональным дополнением подпространства пространства в понимается подпространство

совпадающее также с

Определим радикал пространства как подпространство . Очевидно,

Предложение16 Пусть - знакопеременное пространство, являющееся суммой попарно ортогональных подпространств, т. е. , где при . Тогда

• ,

• регулярно каждое регулярно,

• регулярно .

Доказательство. (1) Возьмем в произвольный элемент и запишем его в виде , . Тогда

так что , откуда . Обратно, если , где , то

откуда .

(2) Это следует из (1) и того, что знакопеременное пространство регулярно тогда и только тогда, когда его радикал равен .

(3) Если , , то

откуда . Следовательно, и, значит, .

Предложение 17 Если - подпространство знакопеременного пространства , то - аннулятор пространства в , т. е. . В частности, .

Доказательство непосредственно следует из определений.

Предложение 18 Пусть - регулярное подпространство знакопеременного пространства . Тогда расщепляет , точнее, . Если - другое расщепление, .

Доказательство. Так как регулярно, то . Следовательно, ввиду 17

Поэтому и, значит, . Далее, если , то , откуда . Сравнивая размерности, получаем .

Предложение 19 Если и - произвольные подпространства регулярного знакопеременного пространства размерности , то