85698 (Композиции преобразований), страница 3

Если прямые b и c скрещиваются, то композиция S_c◦S_b является винтовым движением R_h²◦ , ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор коллинеарен оси h, угол равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства () композиция S_l◦S_a является этим же самым винтовым движением: S_l◦S_a=R_h²◦ , то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l, и угол (a, l)= .

Рис. 9в

Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.

Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: S_c◦S_b◦S_a= . Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция S_c◦S_b является переносом . Тогда ◦S_a= , полученное равенство эквивалентно равенству S_a= ◦ или S_a= (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция S_c◦S_b◦S_a при параллельных b и c не может быть переносом.

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c◦S_b является поворотом R_h, где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h, и угол =2(b, c). Тогда исходная композиция S_c◦S_b◦S_a= будет эквивалентна следующей композиции R_h◦S_a= . Такое возможно только, если поворот R_h является осевой симметрией пространства, т.е. угол = , при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости (b, c), а прямые b и c перпендикулярны между собой.

Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a, b и c были попарно перпендикулярными.

Если b и c скрещиваются, то композиция S_c◦S_b является винтовым движением R_h◦ , где h – общий перпендикуляр прямых b и c, угол =2(b, c), = (рис. 10).

Рис. 10

Следовательно, S_c◦S_b◦S_a= эквивалентно равенству R_h◦ = ◦S_a. А это возможно, если угол =, и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c. Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.

Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.

1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач

Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.

Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.

Решение. Пусть DE, DF – биссектрисы плоских углов ADB и BDC, DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. DAE=EDC, BDF=FDC, CDH=HDK (рис.11).

Рис. 11

Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f=S_DH◦S_DF◦S_DE. Движение f – это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция S_DH◦S_DF◦S_DE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.

Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE, DF и DH лежат в одной плоскости.

Задача 12. Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO. Доказать, что выполняется неравенство:

(DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC)<180.

Решение. Обозначим через DE, DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA, DB и DC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC – прямой, то прямые DB и DC перпендикулярны, и S_DC◦S_DB=S_DA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии S_DA:

S_DA(DF)=(S_DC◦S_DB)(DF)=S_DC(DO)=DH, кроме того S_DA(DO)=DE.

Следовательно, (DO, DF)=(DE, DH). Аналогично можно доказать, что (DO, DE)=(DF, DH) и (DO, DH)=(DE, DF).

Рис. 12

Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:

(DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC) =

= (DO,DE) + (DO,DF) + (DO,DH) = ( (DF,DH) + (DE,DH) +

+ (DE,DF) ). Лучи DE, DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH, а значит сумма (DF,DH)+(DE,DH)+(DE,DF)<360.

Таким образом, (DO, DA)+(DO, DB)+(DO, DC)<180.

§2. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства

Среди преобразований пространства выделяют также преобразования, не сохраняющие расстояния между точками, - это подобия, гомотетии как частный случай подобий, и аффинные преобразования.

Задача 13. Найти композицию гомотетии и переноса пространства: ◦H_O^k.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения искомой композиции. Пусть X₁ – образ X после применения H_O^k: H_O^k(X)=X₁, а точка X₂ – образ X₁ после применения переноса: (X₁)= X₂. Через центр гомотетии O проведем прямую n параллельную прямой, содержащую вектор (рис. 13).

Рис. 13

Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX₂ при гомотетии H_O^k: H_O^k(S)=S₁. Тогда = , поэтому точка S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что =k , =k (т.к. треугольники SOX и X₁XX₂ подобны), искомая композиция является гомотетией H_S^k.

Таким образом, ◦H_O^k=H_S^k. (4)

Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции гомотетий f=H_B^m◦H_A^k. Пусть H_A^k (X)=X₁, т.е. по определению гомотетии =k , H_B^m(X₁)=X₂, т.е. =m (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии H_B^m: H_B^m(A)=A₁, т.е. =m . Таким образом, отрезок A₁X₂ – это образ отрезка AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников ABX₁ и A₁BX₂). Если прямые AA₁ и XX₂ пересекаются (обозначим точку их пересечения C), тогда, рассматривая подобные треугольники ACX и A₁CX₂ , выразим вектор :

= = , при этом =m =km .

Рис. 14

Следовательно, = km . Точка C не зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:

H_B^m◦H_A^k=H_C^km. (5)

Если прямые AA₁ и XX₂ не пересекаются, т.е. = , то km=1, следовательно, композиция f есть перенос пространства:

H_B^m◦H_A^k= . (6)

Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.

Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.

Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f=H_B^m◦R_h◦R_l◦H_A^k.

Рассмотрим несколько случаев.

1)Если оси поворотов h и l параллельны, и при этом сумма углов не равна 2, то композиция поворотов является поворотом R_n⁺ , где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=H_B^m◦R_n⁺◦H_A^k, при этом композиция R_n⁺◦H_A^k является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде H_D^k◦R_p⁺. И равенство f=H_B^m◦R_n⁺◦H_A^k эквивалентно равенству f=H_B^m◦H_D^k◦R_p⁺ . По формуле (5) H_B^m◦H_D^k=H_C^km (при km1), значит f=H_C^km◦R_p⁺, а это по определению подобие. При km=1 по формуле (6) H_B^m◦H_D^k= , и f= ◦R_p⁺, а это, в общем случае, винтовое движение.

2)Если же при параллельных осях данных поворотов h и l сумма углов равна 2, то композиция поворотов R_h◦R_l является переносом пространства , и в этом случае f=H_B^m◦ ◦H_A^k. Композиция ◦H_A^k согласно выводу (4) есть гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k: ◦H_A^k=H_С^k. Следовательно, f=H_B^m◦H_С^k, а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).

3)Если прямые h и l пересекаются, то композиция поворотов R_h◦R_l является поворотом R_n. И нахождение композиции f сводится к случаю 1.

4)Если оси h и l скрещиваются, то композиция поворотов R_h◦R_l является винтовым движением, следовательно, композиция R_h◦R_l◦H_A^k является подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: R_h◦R_l◦H_A^k=R_n◦H_Сⁿ. Тогда нахождение f сводится к случаю 1.

Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.

Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.

Литература

1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т. Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.

2. Понарин Я. П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.

3. Понарин Я. П. Преобразования пространства. Киров: 2000.

4. Скопец З. А. Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.