85698 (Композиции преобразований), страница 2

Рассмотрим случай, когда плоскости , , исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т.е. a║b║c. Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f=S◦S◦S индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями , , . А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором . Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a, b, c.

1. Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции Z_B◦Z_A:

(Z_B◦Z_A)(M)=P (рис. 4).

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: =2 . Точки A и B заданы, следовательно, вектор - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий Z_B◦Z_A есть параллельный перенос на вектор 2 :

Z_B◦Z_A= . (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии Z_O и переноса в пространстве. Представим перенос как композицию двух центральных симметрий: =Z_B◦Z_O, где = . Следовательно, ◦Z_O=(Z_B◦Z_O)◦Z_O . Это равенство эквивалентно равенству:

◦Z_O=Z_B . (2)

Таким образом, композиция центральной симметрии Z_O и переноса есть центральная симметрия Z_O , центр которой определяется условием = .

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=Z_C◦Z_B◦Z_A . Композицию Z_C◦Z_B представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): Z_C◦Z_B= . Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f= ◦Z_A. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия Z_O , центр О которой определяется условием = . Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1. композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2. композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_D◦Z_C◦Z_B◦Z_A (рис. 5).

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=(Z_D◦Z_C)◦(Z_B◦Z_A)= ◦ . Векторы и являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E.

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f=Z_E◦Z_C◦Z_B◦Z_A (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCED является параллелограммом.

Рис. 6

Тогда равенству f=Z_E◦Z_C◦Z_B◦Z_A эквивалентно равенство f=Z_D◦Z_D◦Z_E◦Z_C◦Z_B◦Z_A. Композиция Z_D◦Z_E◦Z_C◦Z_B есть тождественное преобразование, т.к. BCED – параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f=Z_D◦Z_A , а это перенос пространства (согласно выводу (1) ).

1. Композиции зеркальной и центральной симметрий

Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.

Решение. Пусть даны плоскость и точка О, не принадлежащая ей. Найдем композицию Z_O◦S. Центральная симметрия Z_O как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: Z_O=S_l◦S , где l и - перпендикулярные прямая и плоскость, причем l=O. Выберем плоскость таким образом, что ║ , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости (рис. 7). Тогда Z_O◦S=S_l◦S◦S . В силу того, что плоскости и параллельны, их композиция есть параллельный перенос , при этом ║l . А это по определению есть винтовое движение с осью l, углом 180, вектором .

Рис. 7 Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: Z_O◦S= S_l◦ . (3)

Задача 8. Найти композицию Z_O◦S◦S_l , если прямая l параллельна плоскости и точка О лежит в .

Решение. На основании (3) композиция Z_O◦S в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что О, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию S_a , где a и Oa (рис. 8). Тогда Z_O◦S◦S_l=S_a◦S_l, причем al.

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением R_h◦ , угол которого равен 2(a, l)=, ось h – общий перпендикуляр прямых a и l, вектор =2 , где L=lh, A=ah (см. [3], с. 19).

Если прямые a и l пересекаются, то = , и композиция S_a◦S_l является осевой симметрией S_h , где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l.

1. Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S_c◦S_b◦S_a=S_l. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству S_c◦S_b◦S_a=S_l эквивалентно равенство

S_c◦S_b=S_l◦S_a . ()

Если прямые b и c параллельны, то S_c◦S_b= . Тогда и правая часть равенства () является переносом: S_l◦S_a= . А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, c параллельны, то все оси a, b, c и l попарно параллельны (рис. 9а).

Рис. 9а Рис. 9б

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция S_c◦S_b является поворотом R_h (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси h, угол =2(b, c) (рис. 9б). Тогда и композиция S_l◦S_a является этим же поворотом R_h, значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l, точка пересечения A которых принадлежит оси h, и ориентированный угол между a и l равен углу поворота .

Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c, пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c. Ось l удовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых a и h принадлежит l, l параллельна плоскости (b, c), ориентированные углы (a,l)=(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A.